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-课题谈函数与方程(零点问题)的解题方法解题技能篇从近几年高考试题看,函数的零点、方程的根的问题是高考的热点,题型主要以选择题、填空题为主,难度中等及以上主要考察转化与化归、数形结合及函数与方程的思想(1)函数零点的定义对于函数yf(*) (*D),把使f(*)0成立的实数*叫做函数yf(*) (*D)的零点(2)零点存在性定理(函数零点的判定)假设函数yf(*)在闭区间a,b上的图像是连续曲线,并且在区间端点的函数值符号相反,即f(a)f(b)0,则在区间(a,b),函数yf(*)至少有一个零点,即相应方程f(*)0在区间(a,b)内至少有一个实数解也可以说:如果函数yf(*)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)f(b)0,则,函数yf(*)在区间(a,b)内有零点,即存在c(a,b),使得f(c)0,这个c也就是方程f(*)0的根提醒此定理只能判断出零点存在,不能确定零点的个数(3)几个等价关系函数yf(*)有零点方程f(*)0有实数根函数yf(*)的图象与函数y0(即*轴)有交点推广:函数yf(*)g(*)有零点方程f(*)g(*)0有实数根函数yf(*)g(*)的图象与y0(即*轴)有交点推广的变形:函数yf(*)g(*)有零点方程f(*)g(*)有实数根函数yf(*)的图象与yg(*)有交点1函数的零点是函数yf(*)与*轴的交点吗.是否任意函数都有零点.提示:函数的零点不是函数yf(*)与*轴的交点,而是yf(*)与*轴交点的横坐标,也就是说函数的零点不是一个点,而是一个实数;并非任意函数都有零点,只有f(*)0有根的函数yf(*)才有零点2假设函数yf(*)在区间(a,b)内有零点,一定有f(a)f(b)03假设函数yf(*)在区间(a,b),有f(a)f(b)0)的图象与零点的关系b24ac000二次函数ya*2b*c(a0)的图象与*轴的交点(*1,0),(*2,0)(*1,0)无交点零点个数210对于日后的考试中仍以考察函数的零点、方程的根和两函数图象交点横坐标的等价转化为主要考点,涉及题目的主要考向有: 1函数零点的求解与所在区间的判断;2判断函数零点个数;3利用函数的零点求解参数及取值范围考向一、函数零点的求解与所在区间的判断1(2015*十校联考)设f(*)ln *2,则函数f(*)的零点所在的区间为()A(0,1) B(1,2)C(2,3) D(3,4)【解析】法一:f(1)ln 11210,f(2)ln 20,f(1)f(2)0,函数f(*)ln *2的图象是连续的,函数f(*)的零点所在的区间是(1,2)法二:函数f(*)的零点所在的区间转化为函数g(*)ln *,h(*)*2图象交点的横坐标所在的范围,如下图,可知f(*)的零点所在的区间为(1,2)【答案】B2(2015*五校联考)函数yln(*1)与y的图象交点的横坐标所在区间为()A(0,1)B(1,2)C(2,3)D(3,4)【解析】函数yln(*1)与y的图象交点的横坐标,即为函数f(*)ln(*1)的零点,f(*)在(0,)上为增函数,且f(1)ln 210,f(2)ln 30,f(*)的零点所在区间为(1,2)【答案】B3函数f(*)3*7ln *的零点位于区间(n,n1)(nN),则n_【解析】求函数f(*)3*7ln *的零点,可以大致估算两个相邻自然数的函数值,如f(2)1ln 2,由于ln 2ln e1,所以f(2)0,f(3)2ln 3,由于ln 31,所以f(3)0,所以函数f(*)的零点位于区间(2,3),故n2【答案】24(2015*模拟)假设abc,则函数f(*)(*a)(*b)(*b)(*c)(*c)(*a)的两个零点分别位于区间()A(a,b)和(b,c)B(,a)和(a,b)C(b,c)和(c,)D(,a)和(c,)【解析】此题考察零点的存在性定理依题意得f(a)(ab)(ac)0,f(b)(bc)(ba)0,f(c)(cb)(ca)0,因此由零点的存在性定理知f(*)的零点位于区间(a,b)和(b,c)【答案】A5(2014高考*卷)f(*)是定义在R上的奇函数,当*0时,f(*)*23*,则函数g(*)f(*)*3的零点的集合为()A1,3B3,1,1,3C2,1,3D2,1,3【解析】令*0,则*0,所以f(*)f(*)(*)23(*)*23*求函数g(*)f(*)*3的零点等价于求方程f(*)3*的解当*0时,*23*3*,解得*13,*21;当*0时,*23*3*,解得*32【答案】D确定函数f(*)零点所在区间的方法(1)解方程法:当对应方程f(*)0易解时,可先解方程,再看解得的根是否落在给定区间上(2)利用函数零点的存在性定理:首先看函数yf(*)在区间a,b上的图象是否连续,再看是否有f(a)f(b)0假设有,则函数yf(*)在区间(a,b)内必有零点(3)数形结合法:通过画函数图象,观察图象与*轴在给定区间上是否有交点来判断1函数f(*)log2*,在以下区间中,包含f(*)零点的区间是()A(0,1)B(1,2)C(2,4) D(4,)【解析】因为f(1)6log2160,f(2)3log2220,f(4)log240,所以函数f(*)的零点所在区间为(2,4)【答案】C2方程log3*3的根所在的区间为()A(0,1) B(1,2)C(2,3) D(3,4)【解析】法一:方程log3*3的根即是函数f(*)log3*3的零点,由于f(2)log3223log3210且函数f(*)在(0,)上为单调增函数函数f(*)的零点即方程log3*3的根所在区间为(2,3)法二:方程log3*3的根所在区间即是函数y1log3*与y23*交点横坐标所在区间,两函数图象如下图由图知方程log3*3的根所在区间为(2,3)【答案】C3(2015*调研)设a1,a2,a3均为正数,123,则函数f(*)的两个零点分别位于区间()A(,1)和(1,2)B(1,2)和(2,3)C(2,3)和(3,)D(,1)和(3,)【解析】此题考察函数与方程利用零点存在定理求解当*(1,2)时,函数图象连续,且*1,f(*),*2,f(*),所以函数f(*)在(1,2)上一定存在零点;同理当*(2,3)时,函数图象连续,且*2,f(*),*3,f(*),所以函数f(*)在(2,3)上一定存在零点,应选B【答案】B考向二、判断函数零点个数1函数f(*)满足f(0)1,且f(0)2f(1)0,则函数g(*)f(*)*的零点个数为_【解析】f(0)1,c1,又f(0)2f(1)0,f(1)1b1,b当*0时,g(*)2*20有唯一解*1;当*0时,g(*)*2*1,令g(*)0得*或*2(舍去),综上可知,g(*)f(*)*有2个零点【答案】22(2013高考*卷)函数f(*)2*|log0.5*|1的零点个数为()A1B2C3 D4【解析】由f(*)2*|log0.5*|10,可得|log05*|*设g(*)|log0.5*|,h(*)*,在同一坐标系下分别画出函数g(*),h(*)的图象,可以发现两个函数图象一定有2个交点,因此函数f(*)有2个零点【答案】B3(2015高考*卷)函数f(*)函数g(*)3f(2*),则函数yf(*)g(*)的零点个数为()A2B3C4 D5【解析】分别画出函数f(*),g(*)的草图,观察发现有2个交点【答案】A4假设定义在R上的偶函数f(*)满足f(*2)f(*),且当*0,1时,f(*)*,则函数yf(*)log3|*|的零点个数是_【解析】由题意知,f(*)是周期为2的偶函数在同一坐标系内作出函数yf(*)及ylog3|*|的图象,如下:观察图象可以发现它们有4个交点,即函数yf(*)log3|*|有4个零点【答案】4判断函数零点个数的方法(1)解方程法:令f(*)0,如果能求出解,则有几个解就有几个零点(2)零点存在性定理法:利用定理不仅要求函数在区间a,b上是连续不断的曲线,且f(a)f(b)0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质(3)数形结合法:转化为两个函数的图象的交点个数问题先画出两个函数的图象,看其交点的个数,其中交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点1(2015*期末)函数f(*)*ln(*1)1的零点个数是_【解析】函数f(*)*ln(*1)1的零点个数,即为函数yln(*1)与y*1图象的交点个数在同一坐标系内分别作出函数yln(*1)与y*1的图象,如图,由图可知函数f(*)*ln(*1)1的零点个数是2【答案】22假设定义在R上的函数f(*)满足f(*2)f(*),且*1,1时,f(*)1*2,函数g(*)则方程f(*)g(*)0在区间5,5上的解的个数为()A5 B7C8 D10【解析】依题意得,函数f(*)是以2为周期的函数,在同一坐标系下画出函数yf(*)与函数yg(*)的图象,结合图象得,当*5,5时,它们的图象的公共点共有8个,即方程f(*)g(*)0在区间5,5上的解的个数为8【答案】C考向三、利用函数的零点求解参数及取值范围1(2014*检测)假设函数f(*)a*2*1有且仅有一个零点,则实数a的取值为()A0BC0或D2【解析】当a0时,函数f(*)*1为一次函数,则1是函数的零点,即函数仅有一个零点;当a0时,函数f(*)a*2*1为二次函数,并且仅有一个零点,则一元二次
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