随机过程引论第十一章 随机过程的基本概念 习题课例1 设随机相位正弦波,其中是正常数,是在区间上服从均匀分布的随机变量。（1） 当取值， ，时，相应的样本函数是什么？（2） 求在时的一维概率密度。解 （1） 当取值， ，时，相应的样本函数分别是 ,；,；,；（2）在时，的概率密度为 令，的分布函数 ，当时，；当时，；当时，注意到不为0的范围 ；当时，或，注意到不为0的范围， ，于是的概率密度为 。例2 依据独立重复抛掷硬币的试验定义随机过程 ， 每次试验各以的概率出现花面或者出现字面。试求的一维分布函数和二维分布函数。解 根据题意知 在和时,过程的状态和的分布律分别为: -11-22 一维分布函数分别为 , ,由于与相互独立,于是二维分布函数为 例3 设随机过程，式中是常数，是服从分布的随机变量，求的一维概率密度。解 当时，是正态分布随机变量的线性函数，所以服从正态分布，且， 故的一维概率密度 ，；当时，。 例4设随机过程，是相互独立的随机变量，且同在上服从均匀分布，求的一维分布函数。解 由于是相互独立的随机变量，且同在上服从均匀分布，所以的联合概率密度为，的一维分布函数 ，当时，；当时，；当时，；当时， ；当时，；故的一维分布函数 。例5设随机过程，式中是常数，和是相互独立的标准正态随机变量，求的均值函数、自相关函数。解 由题设条件，知， ，的均值函数 ，的自相关函数 。例6设随机过程，是在上服从均匀分布的随机变量，求的均值函数、自相关函数。解 由题设条件，知 的概率密度为 ，的均值函数 ；的自相关函数 。例7设随机过程， 式中和都是随机变量，已知与的协方差矩阵，求的自协方差函数。 解 由题设条件，知 ， 的自协方差函数 。例8 给定随机过程和常数，设 试以自相关函数表示的自相关函数。解 的自相关函数 。例9给定随机过程，定义另一个随机过程 ，是任意实数。试证：的均值函数和自相关函数分别是的一维分布函数和二维分布函数。 证明： 服从两点分布，的均值函数， 的自相关函数 。例10 设是独立随机过程，且均值是一个常数。又随机过程，式中是普通实函数。（1） 求的自相关函数；（2） 求和的互相关函数、互协方差函数。解 因为是独立随机过程，且均值是一个常数（1）的自相关函数；（2）和的互相关函数 ；和的互协方差函数 ， （） 。例11 设是具有状态空间的独立随机序列，且， 。并令 ，（1） 求随机序列的一维分布率；（2） 求的均值函数和自相关函数；（3） 求两个随机序列和的互相关函数、互协方差函数。解（1）由题设条件，是独立随机序列，利用独立二项分布的可加性，得，；（2），；， ，（为非负整数）； （3） ，（为非负整数） （独立），（为正整数） ，（为非负整数），（独立）（为正整数）。