排列 组合排列定义从n个不同的元素中，取r个不反复的元素,按顺序排列，称为从n个中取r个的无重排列。排列的全体构成的集合用P(,）表达。排列的个数用P(n,r)表达。当n时称为全排列。一般不说可重即无重。可重排列的相应记号为P(n,r),P(n,)。组合定义 从n个不同元素中取r个不反复的元素构成一种子集,而不考虑其元素的顺序,称为从n个中取r个的无重组合。组合的全体构成的集合用C（n，r)表达,组合的个数用C(n,)表达，相应于可重组合有记号(n,),（n,r）。一、排列组合部分是中学数学中的难点之一，因素在于 (1)从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型,需要较强的抽象思维能力; （2)限制条件有时比较隐晦,需要我们对问题中的核心性词(特别是逻辑关联词和量词)精确理解; (3)计算手段简朴,与旧知识联系少，但选择对的合理的计算方案时需要的思维量较大； （4)计算方案与否对的，往往不可用直观措施来检查，规定我们弄清概念、原理,并具有较强的分析能力。二、两个基本计数原理及应用 ()加法原理和分类计数法 1加法原理 加法原理的集合形式 .分类的规定 每一类中的每一种措施都可以独立地完毕此任务;两类不同措施中的具体措施,互不相似(即分类不重);完毕此任务的任何一种措施,都属于某一类(即分类不漏） (2)乘法原理和分步计数法 1.乘法原理 2.合理分步的规定 任何一步的一种措施都不能完毕此任务,必须且只须持续完毕这n步才干完毕此任务;各步计数互相独立；只要有一步中所采用的措施不同,则相应的完毕此事的措施也不同 例1：用1、2、3、4、5、6、7、8、9构成数字不反复的六位数 集合A为数字不反复的九位数的集合,(A)9！ 集合为数字不反复的六位数的集合。把集合A分为子集的集合，规则为前6位数相似的元素构成一种子集。显然各子集没有共同元素。每个子集元素的个数，等于剩余的3个数的全排列,即！ 这时集合B的元素与的子集存在一一相应关系，则 S(）=S()*3！ S（B)=9!/3！ 这就是我们用此前的措施求出的P(,6）例2:从编号为1-9的队员中选6人构成一种队，问有多少种选法? 设不同选法构成的集合为C，集合B为数字不反复的六位数的集合。把集合B分为子集的集合,规则为所有由相似数字构成的数构成一种子集，则每个子集都是某6个数的全排列,即每个子集有6!个元素。这时集合C的元素与的子集存在一一相应关系，则 S(B)=S(C）*! （)9!/！ 这就是我们用此前的措施求出的C（9，6） 以上都是简朴的例子，似乎不用弄得这样复杂。但是集合的观念才是排列组合公式的来源，也是对公式更深刻的结识。人们也许没故意识到,在我们平时数物品的数量时，说1,2，3,4,5,一共有5个,这时我们就是在把物品的集合与集合（1,2,3，4，5)建立一一相应的关系，正是由于物品数量与集合(, 2，3,4，）的元素个数相等,因此我们才说物品共有个。我写这篇文章的目的是把这些潜在的思路变得清晰,从而能用它解决更复杂的问题。 例3:9个人坐成一圈，问不同坐法有多少种? 9个人排成一排,不同排法有！种，相应集合为前面的集合A 9个人坐成一圈的不同之处在于,没有起点和终点之分。设集合D为坐成一圈的坐法的集合。以任何人为起点，把圈展开成直线，在集合A中都相应不同元素，但在集合中相称于同一种坐法，因此集合中每个元素相应集合A中9个元素，因此S（D)!/ 我在另一篇帖子中说的措施是先固定一种人，再排其她人,成果为!。这个措施事实上是找到了一种集合A与集合之间的相应关系。用集合的思路解决问题的核心就是寻找集合之间的相应关系,使一种集合的子集与另一种集合的元素形成一一相应的关系。 例:用1、2、3、4、7、8、9构成数字不反复的九位数，但规定1排在2前面，求符合规定的九位数的个数。 集合A为9个数的全排列，把集合分为两个集合、C,集合中1排在2前面,集合C中1排在2背面。则S（B)+S（C)=S(A） 在集合B、C之间建立如下相应关系：集合B中任一元素1和2位置对调形成的数字,相应集合中相似数字。则这个相应关系为一一相应。因此S(B）=S（C)=！/ 以同样的思路可解出下题: 从1、2、3,这九个数中选出3个不同的数作为函数yaxx+bx+c的系数，且规定abc,问这样的函数共有多少个？例5:M个球装入N个盒子的不同装法,盒子按顺序排列。 这题我们已经讨论过了，我再用更形象的措施说说。 假设我们把M个球用细线连成一排,再用N-把刀去砍断细线,就可以把M个球按顺序分为N组。则M个球装入N个盒子的每一种装法都相应一种砍线的措施。而 砍线的措施等于M个球与N-把刀的排列方式(如两把刀排在一起,就表达相应的盒子里球数为0)。因此措施总数为C（+N1,N1）例6：人坐成一排照像, 其中甲、乙、丙三人的顺序不能变化且不相邻，则共有_排法 解：甲、乙、丙三人把其她四人分为四部分，设四部分人数分别为1,X2，3,X，其中1,X4=0，X2，0 先把其他4人看作同样,则不同排法为方程 X1+XX34=的解的个数,令X2=Y1,X3Y31 化为求X+2Y3X4=的非负整数解的个数，这与把个球装入个盒子的措施一一相应，个数为C（,3）=10 由于其他四人是不同的人,因此以上每种排法都相应4个人的全排列4！，因此不同排法共有C(5,3）*4！=240种。