.第一章质点运动学1 -1质点作曲线运动,在时刻t 质点的位矢为r,速度为v ,速率为v,t 至时间内的位移为r, 路程为s, 位矢大小的变化量为r ,平均速度为,平均速率为 根据上述情况,则必有 r= s = r r s r,当t0 时有dr= ds dr r r s,当t0 时有dr= dr ds r s r,当t0 时有dr= dr = ds 根据上述情况,则必有 = ,= , = , ,= 分析与解 质点在t 至时间内沿曲线从P 点运动到P点,各量关系如图所示, 其中路程s PP, 位移大小rPP,而r r-r表示质点位矢大小的变化量,三个量的物理含义不同,在曲线运动中大小也不相等但当t0 时,点P无限趋近P点,则有drds,但却不等于dr故选 由于r s,故,即但由于drds,故,即由此可见,应选1 -2一运动质点在某瞬时位于位矢r的端点处,对其速度的大小有四种意见,即；下述判断正确的是 只有正确 只有正确 只有正确 只有正确分析与解表示质点到坐标原点的距离随时间的变化率,在极坐标系中叫径向速率通常用符号vr表示,这是速度矢量在位矢方向上的一个分量；表示速度矢量；在自然坐标系中速度大小可用公式计算,在直角坐标系中则可由公式求解故选1 -3一个质点在做圆周运动时,则有 切向加速度一定改变,法向加速度也改变 切向加速度可能不变,法向加速度一定改变 切向加速度可能不变,法向加速度不变 切向加速度一定改变,法向加速度不变分析与解加速度的切向分量a起改变速度大小的作用,而法向分量an起改变速度方向的作用质点作圆周运动时,由于速度方向不断改变,相应法向加速度的方向也在不断改变,因而法向加速度是一定改变的至于a是否改变,则要视质点的速率情况而定质点作匀速率圆周运动时, a恒为零；质点作匀变速率圆周运动时, a为一不为零的恒量,当a改变时,质点则作一般的变速率圆周运动由此可见,应选 1 -4质点的运动方程为式中x,y 的单位为m,t 的单位为试求： 初速度的大小和方向； 加速度的大小和方向分析由运动方程的分量式可分别求出速度、加速度的分量,再由运动合成算出速度和加速度的大小和方向解 速度的分量式为当t 0 时,v0x -10 m-1 ,v0y 15 m-1 ,则初速度大小为设v0与x 轴的夹角为,则12341 加速度的分量式为 , 则加速度的大小为设a 与x 轴的夹角为,则-33411 -5质点沿直线运动,加速度a4 -t2 ,式中a的单位为m-2 ,t的单位为如果当t 3时,x9 m,v2 m-1 ,求质点的运动方程分析本题属于运动学第二类问题,即已知加速度求速度和运动方程,必须在给定条件下用积分方法解决由和可得和如aa或vv,则可两边直接积分如果a 或v不是时间t 的显函数,则应经过诸如分离变量或变量代换等数学操作后再做积分解由分析知,应有得 由 得 将t3时,x9 m,v2 m-1代入、得v0-1 m-1,x00.75 m于是可得质点运动方程为1 -6飞机以100 m-1 的速度沿水平直线飞行,在离地面高为100 m时,驾驶员要把物品空投到前方某一地面目标处,问： 此时目标在飞机正下方位置的前面多远？ 投放物品时,驾驶员看目标的视线和水平线成何角度？ 物品投出2.0后,它的法向加速度和切向加速度各为多少？题 1-13 图分析物品空投后作平抛运动忽略空气阻力的条件下,由运动独立性原理知,物品在空中沿水平方向作匀速直线运动,在竖直方向作自由落体运动到达地面目标时,两方向上运动时间是相同的因此,分别列出其运动方程,运用时间相等的条件,即可求解此外,平抛物体在运动过程中只存在竖直向下的重力加速度为求特定时刻t时物体的切向加速度和法向加速度,只需求出该时刻它们与重力加速度之间的夹角或由图可知,在特定时刻t,物体的切向加速度和水平线之间的夹角,可由此时刻的两速度分量vx 、vy求出,这样,也就可将重力加速度g 的切向和法向分量求得解 取如图所示的坐标,物品下落时在水平和竖直方向的运动方程分别为x vt,y 1/2 gt2飞机水平飞行速度v100 ms-1 ,飞机离地面的高度y100 m,由上述两式可得目标在飞机正下方前的距离 视线和水平线的夹角为 在任意时刻物品的速度与水平轴的夹角为取自然坐标,物品在抛出2s 时,重力加速度的切向分量与法向分量分别为1 -7一质点沿半径为R 的圆周按规律运动,v0 、b 都是常量 求t 时刻质点的总加速度； t 为何值时总加速度在数值上等于b？ 当加速度达到b 时,质点已沿圆周运行了多少圈？分析在自然坐标中,s 表示圆周上从某一点开始的曲线坐标由给定的运动方程s s,对时间t 求一阶、二阶导数,即是沿曲线运动的速度v 和加速度的切向分量a,而加速度的法向分量为anv2 /R这样,总加速度为a aeanen至于质点在t 时间内通过的路程,即为曲线坐标的改变量sst -s0因圆周长为2R,质点所转过的圈数自然可求得解 质点作圆周运动的速率为其加速度的切向分量和法向分量分别为, 故加速度的大小为其方向与切线之间的夹角为 要使ab,由可得 从t0 开始到tv0 /b 时,质点经过的路程为因此质点运行的圈数为1 -8一升降机以加速度1.22 m-2上升,当上升速度为2.44 m-1时,有一螺丝自升降机的天花板上松脱,天花板与升降机的底面相距2.74 m计算：螺丝从天花板落到底面所需要的时间；螺丝相对升降机外固定柱子的下降距离分析在升降机与螺丝之间有相对运动的情况下,一种处理方法是取地面为参考系,分别讨论升降机竖直向上的匀加速度运动和初速不为零的螺丝的自由落体运动,列出这两种运动在同一坐标系中的运动方程y1 y1和y2 y2,并考虑它们相遇,即位矢相同这一条件,问题即可解；另一种方法是取升降机为参考系,这时,螺丝相对它作匀加速运动,但是,此加速度应该是相对加速度升降机厢的高度就是螺丝运动的路程解1 以地面为参考系,取如图所示的坐标系,升降机与螺丝的运动方程分别为当螺丝落至底面时,有y1 y2 ,即 螺丝相对升降机外固定柱子下降的距离为解2以升降机为参考系,此时,螺丝相对它的加速度大小ag a,螺丝落至底面时,有 由于升降机在t 时间内上升的高度为则 题 1-8 图1 -9一无风的下雨天,一列火车以v120.0 m-1 的速度匀速前进,在车内的旅客看见玻璃窗外的雨滴和垂线成75角下降求雨滴下落的速度v2 题 1-19 图分析这是一个相对运动的问题设雨滴为研究对象,地面为静止参考系,火车为动参考系v1 为相对 的速度,v2 为雨滴相对的速度,利用相对运动速度的关系即可解解以地面为参考系,火车相对地面运动的速度为v1 ,雨滴相对地面竖直下落的速度为v2 ,旅客看到雨滴下落的速度v2为相对速度,它们之间的关系为 ,于是可得1 -10如图所示,一汽车在雨中沿直线行驶,其速率为v1 ,下落雨滴的速度方向偏于竖直方向之前 角,速率为v2,若车后有一长方形物体,问车速v1为多大时,此物体正好不会被雨水淋湿？分析这也是一个相对运动的问题可视雨点为研究对象,地面为静参考系,汽车为动参考系如图所示,要使物体不被淋湿,在车上观察雨点下落的方向应满足再由相对速度的矢量关系,即可求出所需车速v1题 1-20 图解由图,有而要使,则1 -11用水平力FN把一个物体压着靠在粗糙的竖直墙面上保持静止当FN逐渐增大时,物体所受的静摩擦力Ff的大小 不为零,但保持不变 随FN成正比地增大 开始随FN增大,达到某一最大值后,就保持不变 无法确定分析与解与滑动摩擦力不同的是,静摩擦力可在零与最大值FN范围内取值当FN增加时,静摩擦力可取的最大值成正比增加,但具体大小则取决于被作用物体的运动状态由题意知,物体一直保持静止状态,故静摩擦力与重力大小相等,方向相反,并保持不变,故选1 -12一段路面水平的公路,转弯处轨道半径为R,汽车轮胎与路面间的摩擦因数为,要使汽车不至于发生侧向打滑,汽车在该处的行驶速率 不得小于 必须等于 不得大于 还应由汽车的质量m 决定分析与解由题意知,汽车应在水平面内作匀速率圆周运动,为保证汽车转弯时不侧向打滑,所需向心力只能由路面与轮胎间的静摩擦力提供,能够提供的最大向心力应为FN由此可算得汽车转弯的最大速率应为vRg因此只要汽车转弯时的实际速率不大于此值,均能保证不侧向打滑应选1-13一物体沿固定圆弧形光滑轨道由静止下滑,在下滑过程中,则 它的加速度方向永远指向圆心,其速率保持不变 它受到的轨道的作用力的大小不断增加 它受到的合外力大小变化,方向永远指向圆心 它受到的合外力大小不变,其速率不断增加分析与解由图可知,物体在下滑过程中受到大小和方向不变的重力以及时刻指向圆轨道中心的轨道支持力FN作用,其合外力方向并非指向圆心,其大小和方向均与物体所在位置有关重力的切向分量 使物体的速率将会不断增加,则物体作圆周运动的向心力将不断增大,由轨道法向方向上的动力学方程可判断,随 角的不断增大过程,轨道支持力FN也将不断增大,由此可见应选*1 -14图示系统置于以a 1/4 g 的加速度上升的升降机内,A、B 两物体质量相同均为m,A 所在的桌面是水平的,绳子和定滑轮质量均不计,若忽略滑轮轴上和桌面上的摩擦,并不计空气阻力,则绳中张力为 5/8 mg 1/2 mg mg 2mg分析与解本题可考虑对A、B 两物体加上惯性力后,以