2.1什么是线性系统？其最重要的特性是什么？下列用微分方程表示的 系统中，X。表示系统输出，x表示系统输入，哪些是线性系统？（1）Xo2XoXo2 x2Xi Xo2Xo 2 tx2 Xi（3）Xo2Xo 2x2 Xi Xo2XoXo 2tX2 Xi解：凡是能用线性微分方程描述的系统就是线性系统。线性系统的一个最重要特性就是它满足叠加原理。该题中（2）和（3）是线性系 统。2.2图（题2.2）中三同分别表示了三个机械系统。求出它们各自的 微分方程，图中x表示输入位移，X。表示输出位移，假设输出端无 负载效应。乞刀7777/77777(a)(b)(c)图（题2.2）解：（1）对图（a）所示系统，由牛顿定律有(2)对图(b)所示系统，弓1入一中间变量x,并由牛顿定律有(Xj-x)ki=c(x-x。)c(xx)=k2x。(1)(2)即ci( x x。) C2X。二 mx。mx。 ( ci C2)x。二 ciXi消除中间变量有c ( ki 一 k2)x。- kikzx。二 ckix(3)对图(c)所示系统，由牛顿定律有c ( x - x。)ki( x - x。) = k2x。1c x+ ( ki+ k2)x= cx+ kix2.3求出图(题2.3)所示电系统的微分方程。RiRi Ci(a)(b)图(题2.3)解:(1)对图(a)所示系统，设j1为流过R1的电流“为总电流贝S有1 u厂 R?iidtC2Ui 一 u。二 Riji1（i ijdt C1消除中间变量，并化简有C1R2U。（1 R C）Uo- R2 C2=c，R2Ui+ （t+C：） 对图（b）所示系统，设i为电流，则有Ui1CR2U。1UiC2R1Ri gidt1W idt R2i C2消除中间变量，并化简有)u。二 R2U 亠 j21 1（R1+R2）e（Tc2 c2.4求图他2.4）所示机械系统的微分方程。图中M为输入转矩,Cm为 圆周阻尼，J为转动惯量。/解：设系统输入为M （即）输出日（即），分别对圆盘和质块进行动 力学分析，列写动力学方程如下：M = J C Rk(R - x)k(R - x)= mx ex消除中间变量x，即可得到系统动力学方程mJ (m6 cJ )( Rkm 6c - KJ )， k ( e R 6)=mM cM KM2.5 输出 y(t)与输入 x(t)的关系为 y(t)二 2x(t)+0.5 x(t)。(1) 求当工作点为 为=，冷=1，冷=2时相应的稳态时输出值；(2) 在这些工作点处作小偏差线性化模型，并以对工作的偏差来定义x和y,写出新的线性化模型。解：(1)将 Xo=，W=1，Xo=2 分别代入 y(t)= 2x(t)+0.5 x3(t)中，即当工作 点为X。=0, x=1,X。=2时相应的稳态输出值分别为y= 0，y= 2.5 ,y 8。(2)根据非线性系统线性化的方法有，在工作点(冶，几)附近，将非线性函数展开成泰勒级数，并略去高阶项得3 #2- _y+ 可 y= 2xo+ 0.5 Xo+ ( 2 + 1.5 x )lx=x。 X2v y = (21 .5 x )lx = xo 八 X若令 xx，yy 有 y = ( 21.5x0) x当工作点为冷二0时，y = ( 21.5x0) x = 2x当工作点为 x= 1 时,y = ( 2 1.5x0) x = 3.5x当工作点为 x 2 时，y = ( 2 1.5x0) x 二 8x2.6已知滑阀节流口流量方程式为 Q = CWXv二 ，式中.Q为通过节流阀流口的流量；P为节流阀流口的前后油压差；v为节流阀的位Xv移量；c为疏量系数；w为节流口面积梯度；T为油密度。试以Q与P为变量（即将Q作为P的函数）将节流阀流量方程线性化。解：利用小偏差线性化的概念，将函数 Q=F（Xv，p）在预定工作点F（Xo, Po）处按泰勒级数展开为Q = F(Xvo, Po)+()(Xvo, Po)*N Xv (_P)(Xvo, Po)N P*Xv消除高阶项，有云 F |cFQ -F(Xvo, Po) ()|(Xvo，Po)N Xv* (_P)(Xvo, Po) PXvP Q 汗(Xv，P) F(Xv,P。)dFl即“二 F(Xvo,Po)+()(Xvo,Po)N Xv+(即)(Xvo,Po)N p F(Xvo,P)fXv:F=(;:)(Xvo,P)N X,(即)(Xvo,Po)“ P召F吓若令心()l(Xvo,P。)，()l(Xvo,P。)，XvPQ 二 Ki 八 Xv K2八 p将上式改写为增量方程的形式Q 二 Ki 叹 KP2.7已知系统的动力学方程如下，试写出它们的传递函数Y (s)/R(s)。(。y(t) 15y(t)50y(t)500y(t)二 r(t) 2r(t)(2) 5y(t)25y(t)二 0.5 r(t)(3) y(t) 25y(t)二 0.5 r(t)(4) y(t) 3y(t)6y(t)4 y(t)dt二 4 r(t)解：根据传递函数的定义，求系统的传递函数，只需将其动力学方程两边分别在零初始条件下进行拉式变换，然后求Y(s)/R(s)。s3Y(s)(1)2 215sY(s)50sY(s)500丫(s)二 s R(s) 2sR(s),2sY(s)/ R(s厂s + 15s2+50s +50025sY(s) 25sY(s)=0.5sR(s)0.5sY(s)/R(s)=k2sY(S) 25SY(s) = 0.5R(s)Y(S)/R(s2 1 sY(s) 3sY(S) 6丫(s) 4 Y(s)=4Y(s) sY (s)/R(s)二4ss3 3s2 6s 42.8如图(题2.8)为汽车或摩托车悬浮系统简化的物理模型，试以位移x为输入量，位移y为输出量，求系统的传递函数Y(s)/X(s)c皿】x A图(题2.8)2.9试分析当反馈环节 H(s)=1,前向通道传递函数 G(s )分别为惯 性环节、微分环节、积分环节时，输入、输出的闭环传递函数。解：由于惯性环节、微分环节、积分环节的传递函数分别为Ts 1Gb(s)二G(s)，则G(s)=，G(s)订s，G(s)=K，而闭环传递函数为 十s(1) 当反馈环节H(s)=1,前向通道传递函数G(s)为惯性环节时,G(s)Ts 1Gb(s)-1-G(s)H(s)影 KTs 1(2)当反馈环节H(s)=1,前向通道传递函数G(s)为微分环节时，G(s)TsGb(s)1-G(s)H(s) 1 Ts(3)当反馈环节H(s)=1,前向通道传递函数G(s)为积分环节时,G(s)Gb1 G(s)H (s)影怪 s-K2.10证明图(题2.10)与图(题2.3(a)所示系统是相似系统(即证明两系统的传递函数具有相同形式)。图(题2. 10)1C2s)IUi(s)-U(S)=RiIi(s)(5)Ui(s)-U(S尸I(s) I(s)CisCis解：对题2.4(a)系统，可列出相应的方程。1 .Uo=R2idtC2uu。二 Riii(2)1uu。J (rii)dt C i对以上三式分别作Lapice别换，并注意到初始条件为零，即1(0)“ (0) = 0|1(0)2(0尸0贝y0(s)=R2I (s) +=(R2 +C2S(5)丄,得CisU i(s) -U(s)RkI i(s)Cis曰n RiI (s) Ri(6 Ri，得 RUi(s) Uo(s)Ii(s)(8) CisCis(8)，得Ri) Ui(s)-Uo(s)= J I (s)Cis -CisUZ吧盘I(s)BI(s)1 RiCiR1Ui(s)=Uo(s) RI(s)(9)1 R1C1将(4)式中的U 0(S)代入(9)式1U(S厂冬)I(S)C2S=(R21RiC2S 1 R1C1S)I(s)再用(4)式与上式相比以消去I (S),即得电系统的传递函数为G(昇0U1G)(R21(R2 )I(S)C2SC2SR1(1 R1C1S)I(s)1 R2 C2SR2 1C2S (1 R1C1S)而本题中，引入中间变量X,依动力学知识有 (Xi-xo)k/ (x Xo)cr (Xo-x )c1、(Xj-Xo)C1=k1X对上二式分别进行拉式变换有/ sok2XXo(s)+sc2 Xi(s)-Xo(s)= Xo(S)X(S)C1SXo(s)X(s) kC1S消除X（s）有Xo(s)G(s)XiG)丘2 C2S k1C1sk2 C2Sk1 cisC2k2C2sk2C1sC11 sk1比较两系统的传递函数有R2 C1 = R1故这两个系统为相似系统。2.11 一齿轮系如图（题2.11）所示。图中,z、z、z 和 z 分别 U为各齿轮齿数；J1、J2、和J3表示各种传动轴上的转动惯量, 二2和二3为各轴的角位移；Mm是电动机输出转矩。试列写折算到电动轴上的齿轮系的运动方程。Zs图（题2. 11）2.12求图(题2.12)所示两系统的传递函数。Xi (t)xo(t)(a)图(题2.12)解：(1)由图(a)中系统，可得动力学方程为Xi(t)-xo(t) k= mXo(t) + cxo(t)作Laplce别换，得Xi(s)- Xo(s) k = ms2Xo(s)+csXo(s)则有G(s)= Xo(s)/Xi(s)= k/(ms2 cs k)(2) 由图(b)中系统，设i为电网络的电流，可得方程为(_ r , dL 1 uRi L Jidt 丿dt Cuo idtC1作 Lapice别换，得 Ui（S）=RI（S）Lsl（S） I（S）Cs1Uo（s） l（s）Cs1消除中间变量有G（s）