专题13 机械能守恒定律的理解与应用【专题导航】目录热点题型一机械能守恒的理解与判断1热点题型二 单个物体的机械能守恒问题3机械能守恒定律在圆周运动中的应用3机械能守恒定律在平抛运动中的应用5热点题型三多物体关联的机械能守恒问题6轻绳模型7轻杆模型8轻弹簧模型9非质点类模型11【题型演练】12【题型归纳】热点题型一机械能守恒的理解与判断1机械能守恒判断的三种方法定义法利用机械能的定义直接判断，分析物体或系统的动能和势能的和是否变化，若不变，则机械能守恒做功法若物体或系统只有重力或系统内弹力做功，或有其他力做功，但其他力做功的代数和为零，则机械能守恒转化法若物体或系统中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式能的转化，则机械能守恒2.机械能守恒条件的理解及判断(1)机械能守恒的条件绝不是合外力的功等于零，更不是合外力为零；“只有重力或弹力做功”不等于“只受重力或弹力作用”(2)对于一些绳子突然绷紧、物体间碰撞等情况，除非题目特别说明，否则机械能必定不守恒(3)对于系统机械能是否守恒，可以根据能量的转化进行判断严格地讲，机械能守恒定律的条件应该是对一个系统而言，外力对系统不做功(表明系统与外界之间无能量交换)，系统内除了重力和弹力以外，无其他摩擦和介质阻力做功(表明系统内不存在机械能与其他形式之间的转换)，则系统的机械能守恒【例1】(多选)如图，轻弹簧竖立在地面上，正上方有一钢球，从A处自由下落，落到B处时开始与弹簧接触，此时向下压缩弹簧小球运动到C处时，弹簧对小球的弹力与小球的重力平衡小球运动到D处时，到达最低点不计空气阻力，以下描述正确的有 ()A小球由A向B运动的过程中，处于完全失重状态，小球的机械能减少B小球由B向C运动的过程中，处于失重状态，小球的机械能减少C小球由B向C运动的过程中，处于超重状态，小球的动能增加D小球由C向D运动的过程中，处于超重状态，小球的机械能减少【答案】BD【解析】小球由A向B运动的过程中，做自由落体运动，加速度等于竖直向下的重力加速度g，处于完全失重状态，此过程中只有重力做功，小球的机械能守恒，A错误；小球由B向C运动的过程中，重力大于弹簧的弹力，加速度向下，小球处于失重状态，小球和弹簧组成的系统机械能守恒，弹簧的弹性势能增加，小球的机械能减少，由于小球向下加速运动，小球的动能还是增大的，B正确，C错误；小球由C向D运动的过程中，弹簧的弹力大于小球的重力，加速度方向向上，处于超重状态，弹簧继续被压缩，弹性势能继续增大，小球的机械能继续减小，D正确【变式1】木块静止挂在绳子下端，一子弹以水平速度射入木块并留在其中，再与木块一起共同摆到一定高度如图所示，从子弹开始射入到共同上摆到最大高度的过程中，下列说法正确的是()A子弹的机械能守恒 B木块的机械能守恒C子弹和木块总机械能守恒 D子弹和木块上摆过程中机械能守恒【答案】D.【解析】子弹射入木块过程，系统中摩擦力做负功，机械能减少；而共同上摆过程，系统只有重力做功，机械能守恒综上所述，整个过程机械能减少，减少部分等于克服摩擦力做功产生的热量【变式2】如图所示，完整的撑杆跳高过程可以简化成三个阶段：持杆助跑、撑杆起跳上升、越杆下落(下落时人杆分离)，最后落在软垫上速度减为零不计空气阻力，则()A运动员在整个跳高过程中机械能守恒 B运动员在撑杆起跳上升过程中机械能守恒C在撑杆起跳上升过程中，杆的弹性势能转化为运动员的重力势能且弹性势能减少量小于运动员的重力势能增加量D运动员落在软垫上时做减速运动，处于超重状态【答案】CD【解析】运动员持杆助跑阶段运动员对杆做功，机械能不守恒，最后从落在软垫上到速度减为零的过程中阻力做功，机械能也不守恒，故A错误；运动员在撑杆起跳上升过程中，杆从开始形变到杆恢复原状，先是运动员部分动能转化为重力势能和杆的弹性势能，后是弹性势能和运动员的动能转化为重力势能，使用杆的过程中，运动员与杆组成的系统机械能守恒，运动员的机械能不守恒，故B错误；在撑杆起跳上升过程中，运动员的动能和杆的弹性势能转化为运动员的重力势能，所以杆的弹性势能减少量一定小于运动员的重力势能增加量，故C正确；运动员落在软垫上时做减速运动，加速度的方向向上，因而运动员处于超重状态，故D正确热点题型二 单个物体的机械能守恒问题1机械能守恒定律的表达式2求解单个物体机械能守恒问题的基本思路机械能守恒定律在圆周运动中的应用【例2】(2019安徽名校联考)如图所示，在竖直平面内有一固定光滑轨道，其中AB是为R的水平直轨道，BCD是圆心为O、半径为R的圆弧轨道，两轨道相切于B点在外力作用下，一小球从A点由静止开始做匀加速直线运动，到达B点时撤除外力已知小球刚好能沿圆轨道经过最高点C，重力加速度大小为g求：(1)小球在AB段运动的加速度的大小；(2)小球从D点运动到A点所用的时间【答案】(1)g(2)() 【解析】(1)设小球在C点的速度大小为vC，根据牛顿第二定律有mgm小球从B点到C点机械能守恒，设B点处小球的速度为vB，有mvmv2mgR小球在AB段由静止开始做匀加速运动，设加速度大小为a，由运动学公式有v2aR由式得ag.(2)设小球在D处的速度为vD，下落到A点时的速度为v，根据机械能守恒有mvmvmgRmvmv2设从D点到A点所用的时间为t，由运动学公式得gtvvD由式得t() .【方法技巧】守恒表达式的选用技巧(1)在处理单个物体机械能守恒问题时通常应用守恒观点和转化观点，转化观点不用选取零势能面(2)在处理连接体问题时，通常应用转化观点和转移观点，都不用选取零势能面【变式1】(2019山东济南模拟)如图所示，由光滑细管组成的轨道固定在竖直平面内，AB段和BC段是半径为R的四分之一圆弧，CD段为平滑的弯管一小球从管口D处由静止释放，最后能够从A端水平抛出落到地面上关于管口D距离地面的高度必须满足的条件()A等于2R B大于2R C大于2R且小于R D大于R【答案】B【解析】由机械能守恒定律得mg(H2R)mv，因细管可以提供支持力，所以到达A点的速度大于零即可，即vA0，解得H2R，故选B.【变式2】一小球以一定的初速度从图示位置进入光滑的轨道，小球先进入圆轨道1，再进入圆轨道2，圆轨道1的半径为R，圆轨道2的半径是轨道1的1.8倍，小球的质量为m，若小球恰好能通过轨道2的最高点B，则小球在轨道1上经过A处时对轨道的压力为()A2mg B3mg C4mg D5mg【答案】C【解析】小球恰好能通过轨道2的最高点B时，有mgm，小球在轨道1上经过A处时，有Fmgm，根据机械能守恒定律，有1.6mgRmvmv，解得F4mg，由牛顿第三定律可知，小球对轨道的压力FF4mg，选项C正确机械能守恒定律在平抛运动中的应用【例3】.如图，位于竖直平面内的光滑轨道由四分之一圆弧ab和抛物线bc组成，圆弧半径Oa水平，b点为抛物线顶点已知h2 m，s m取重力加速度大小g10 m/s2.(1)一小环套在轨道上从a点由静止滑下，当其在bc段轨道运动时，与轨道之间无相互作用力，求圆弧轨道的半径；(2)若环从b点由静止因微小扰动而开始滑下，求环到达c点时速度的水平分量的大小【答案】(1)0.25 m(2) m/s【解析】(1)设环到b点时速度为vb，圆弧轨道半径为r，小环从a到b由机械能守恒有mgrmv环与bc段轨道间无相互作用力，从b到c环做平抛运动hgt2svbt联立可得r代入数据得r0.25 m.(2)环从b点由静止下滑至c点过程中机械能守恒，设到c点时速度为vc，则mghmv在bc段两次过程中环沿同一轨迹运动，经过同一点时速度方向相同设环在c点时速度与水平方向间的夹角为，则环做平抛运动时tan vygt联立式可得tan 2则环从b点由静止开始滑到c点时速度的水平分量vcx为vcxvccos 联立三式可得vcx m/s.【变式1】如图所示，在高1.5 m的光滑平台上有一个质量为2 kg的小球被一细线拴在墙上，球与墙之间有一根被压缩的轻质弹簧当烧断细线时，小球被弹出，小球落地时的速度方向与水平方向成60角，则弹簧被压缩时具有的弹性势能为(g取10 m/s2)()A10 J B15 J C20 J D25 J【答案】A【解析】由hgt2和vygt得：vy m/s，落地时，tan 60可得：v0 m/s，由机械能守恒得：Epmv，可求得：Ep10 J，故A正确【变式2】取水平地面为重力势能零点一物块从某一高度水平抛出，在抛出点其动能与重力势能恰好相等不计空气阻力，该物块落地时的速度方向与水平方向的夹角为()A. B. C. D.【答案】B【解析】设物体水平抛出的初速度为v0，抛出时的高度为h，则mvmgh，则v0.物体落地的竖直速度vy，则落地时速度方向与水平方向的夹角tan 1，则，选项B正确热点题型三多物体关联的机械能守恒问题1多物体机械能守恒问题的解题思路2 多个物体的机械能守恒问题，往往涉及“轻绳模型”“轻杆模型”以及“轻弹簧模型”轻绳模型三点提醒分清两物体是速度大小相等，还是沿绳方向的分速度大小相等用好两物体的位移大小关系或竖直方向高度变化的关系对于单个物体，一般绳上的力要做功，机械能不守恒；但对于绳连接的系统，机械能则可能守恒【例4】(2019黑龙江哈尔滨六中模拟)如图所示，物体A的质量为M，圆环B的质量为mA、B通过绳子连接在一起，圆环套在光滑的竖直杆上，开始时，圆环与定滑轮之间的绳子处于水平状态，长度l4 m，现从静止开始释放圆环，不计定滑轮和空气的阻力，重力加速度g取10 m/s2，若圆环下降h3 m时的速度v5 m/s，则A和B的质量关系为()A. B. C. D.【答案】A【解析】圆环下降3 m时的速度可以沿绳方向和垂直绳方向进行分解，故可得vAvcos ，又由几何关系可知cos ，解得vA3 m/s.当圆环下降的高度h3 m时，由几何关系可知，物体A上升的高度hl1 m将A、B看作一个系统，则该系统只有重力做功，机械能守恒，则由机械能守恒定律可得mghMghmv2Mv，代入数据求解可得，选项A正确【变式】如图所示，可视为质点的小球A、B用不可伸长的细软轻线连接，跨过固定在地面上半径为R的光滑圆柱，A的质量为B的两倍当B位于地面时，A恰与圆柱轴心等高将A