习题一（A）1. 写出下列事件的样本空间：把一枚硬币连续抛掷两次；掷两颗骰子；连续抛一枚硬币，直至出现正面为止；在某十字路口，一小时内通过的机动车辆数；某城市一天内的用电量解 ，其中表示正面，表示反面 2.为三个事件，试将下列事件用表示出来：仅发生；均发生；均不发生；发生而至少有一个不发生；不发生而至少有一个发生；不全发生；最多有个发生；至少有个发生；最多有一个发生；恰有个发生解 ；或； ；或；或； ； ；3掷一颗骰子的试验，观察其出现的点数，事件偶数点，奇数点，点数小于，小于的偶数点，讨论上述各事件间的关系解 ，与为对立事件，即；与互不相容；事件表示某个生产单位第车间完成生产任务，表示至少有两个车间完成生产任务，表示最多只有两个车间完成生产任务，说明事件及的含义，并且用表示出来解表示最多有一个车间完成生产任务，即至少有两个车间没有完成生产任务表示三个车间均完成生产任务抛两枚硬币，求至少出现一个正面的概率解设事件表示两枚硬币中至少出现一个正面若用表示正面，表示反面，其出现是等可能的则样本空间含有四个等可能样本点：，由于事件含有其中个样本点故抛掷一枚硬币，连续次，求既有正面又有反面出现的概率解设事件表示三次中既有正面又有反面出现，则表示三次均为正面或三次均为反面出现，其所包含的样本点数为而抛掷三次硬币共有种不同的等可能结果，故样本空间的样本点总数为，因此掷两颗骰子，求下列事件的概率：点数之和为；点数之和不超过；两个点数中一个恰是另一个的两倍解点数之和为，点数之和不超过，两个点数中一个恰是另一个的两倍所以；把钥匙中有把能打开一个门锁，今任取两把，求能打开门锁的概率解设事件表示门锁能被打开则事件发生就是取的两把钥匙都不能打开门锁袋内装有个白球，个黑球，从中一次任取两个，求取到的两个球颜色不同的概率及两个球中有黑球的概率解记事件表示取到的两个球颜色不同则有利于事件的样本点数为而组成试验的样本点总数为，由古典概型概率公式有设事件表示取到的两个球中有黑球，则有利于事件的样本点数为10. 从一副张的扑克牌中任取张，求下列事件的概率：全是黑桃；同花； 没有两张同一花色； 同色解 张牌中任取张，共有种等可能的取法用事件表示任取张全是黑桃，由于张黑桃只能从张黑桃中取出共有种取法，所以用事件表示取出的张牌同花，由于共有种花色，而张同花只能从同一花色的张牌中取出，所以共有种取法，于是用事件表示取出的张牌没有两张同一花色，张牌只能从各种花色(张牌)中各取张，共有种取法，于是用事件表示取出的张牌同色，共有种颜色，而每种颜色只能从同一颜色的张牌中任取张，共有种取法，于是11. 口袋内装有个伍分、个贰分、个壹分的硬币共枚，从中任取枚，求总值超过壹角的概率解 设事件表示取出的枚硬币总值超过壹角则样本点总数为，事件所包含的样本点数为12. 袋中有红、白、黑色球各一个，每次任取一球，有放回地抽取三次，求下列事件的概率：三次都是红球即全红，全白，全黑，无红，无白，无黑，三次颜色全相同，颜色全不相同，颜色不全相同解 样本点总数为；事件、事件、事件所包含的样本点数为；事件、事件、事件所包含的样本点数为；事件所包含的样本点数为事件、事件、事件样本点数之和；事件所包含的样本点数为；事件所包含的样本点数为总样本点数减去事件所包含的样本点数所以有；13.一间宿舍内住有位同学，求他们中有个人的生日在同一个月份的概率解 设事件表示有个人的生日在同一个月份样本点总数为，事件所包含的样本点数，14. 从，七个数字中任取个排成一列，求下列事件的概率：（按不重复和可重复取分别计算）可构成四位数；可构成四位偶数；可被整除的四位数；不在千位、在十位的四位数；数字各不相同的四位数解 设,分别为事件，不重复选取时总的样本点数为包含的样本点数为(先在六个非零数字中任取个排在千位，再在六个数字中任取三个排在百位、十位和个位)所以包含的样本点数为(将偶数分为两类：一类作个位的有个，另一类是、或作个位的有个)所以包含的样本点数为(将能被整除的数分为两类：一类是以作个位的有个，另一类是作个位的有个)所以包含的样本点数为(在十位，千位不能取和，共个取法，剩下的百位和个位共有个取法)所以同重复选取时总的样本点数为包含的样本点数为(先在六个非零数字中任取个排在千位，其余三位可在个数字中重复选取)所以包含的样本点数为(将偶数分成两类：一类是以作个位的，在六个非零数字中选取一个排在千位，百位和十位的数字在七个数字中重复选取)所以包含的样本点数为(将能被整除的数分为两类，一类是以作个位，一类是以作个位，都是共有个)所以包含的样本点数为(在十位，千位不能取和，共个取法，剩下的百位和个位共有个取法). 所以包含的样本点数为所以15. 有两本外语书，本数学书，本政治书，放到书架上排成一排，求下列事件的概率：两本外语书恰排在两侧（一侧一本）；本数学书排在一起；某指定一本书恰好排在中间；本政治书一侧两本解 设,分别为事件，总样本点数为包含的样本点数为(两本外语书在两侧有种排法，其余本书在中间有种排法)所以包含的样本点数为(把本数学书看成一本，与其余本书共有种排法本数学书共有种排法)所以包含的样本点数为(指定书排在中间，其余本书在个位置上共有种排法)所以包含的样本点数为(本政治书中先取本排在一侧有种排法，剩余人两本排在另一侧有种排法，其余本书在中间共有种排法)所以16. 封信随机地投到个信筒中，求下列事件的概率：第一个信筒恰有两封信；第一个信筒至少有两封信；第一个信筒最多有两封信解 设,分别为事件，.总样本点数为.包含的样本点数为(封信中取两封信投入第一个信筒，共有种投法，剩下封信投入两个信筒中有种投法)所以包含的样本点数为(总样本点数减去第一个信筒中没有信有种投法，再减去第一个信筒中有一封信有种投法)所以包含的样本点数为(第一个信筒中没有信有种投法，第一个信筒中有一封信有种投法，第一个信筒中有两封信有种投法)所以17. 将个人等可能地分配到十个房间去住，求下列事件的概率：某指定个房间各住人；人被分配到个不同的房间；人被分配到同一个房间；某个指定房间恰住人解 设,分别为事件，总样本点数为包含的样本点数为所以包含的样本点数为(先选出个房间共种选法，这个房间各住一人有种住法)所以包含的样本点数为所以包含的样本点数为(先选出两人住指定房间有种住法，其余人分配到剩下的个房间，有种分配方法)所以18. 在区间中随机地取两个数，求事件“两数之和小于”的概率.解 这个概率可用几何方法确定在区间中随机地取两个数分别记为和，则的可能取值形成如下单位正方形，其面积为而事件两数之和小于可表示为，其区域为图1.1中的阴影部分图1.1所以由几何方法得19. 甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内到达的时间是等可能的如果甲船停泊时间是小时，乙船停泊时间是小时，求它们中任何一艘都不需要等候码头的概率解 这个概率可用几何方法确定记和分别为甲乙两艘轮船到达码头的时间，则的可能取值形成边长为的正方形，其面积为而事件不需要等候码头空出有两种可能情况：一种情况是甲船先到，则乙船在一小时之后到达，即满足；另一种情况是乙船先到，则甲船在两小时之后到达，即满足所以事件可表示为所以事件的区域形成了图1.2中的阴影部分，其面积为，所以由几何方法得 图1.220. 事件与互不相容，计算解 由于与互不相容，有，21. 已知，求，解 由于与互不相容，且，因此有 22. 个产品中有个合格品与个废品，从中一次抽取三个，计算取到废品的概率解 记事件为取到废品总样本点数为，事件包含的样本点数为所以23. 一个教室中有名学生，求其中至少有一人的生日是在元旦的概率（设一年以天计算）解 设事件表示名学生的生日都不在元旦，则有利于的样本点数目为，而样本空间中样本点数总数为，所求概率为24. 有副规格不同的手套，现从中任取只，求至少能配成一副的概率解设事件表示取出的四只手套至少有两只配成一副，则表示四只手套中任何两只均不能配成一副，25. 设事件至少有一个发生的概率为，发生而不发生的概率为，求解 由已知条件知，则26. 某单位有的职工订阅报纸，的人订阅杂志，在不订阅报纸的人中仍有的职工订阅杂志，从单位中任找一名职工求下列事件的概率：该职工至少订阅一种报纸或期刊；该职工不订阅杂志，但是订阅报纸解 设事件表示任找一名职工订阅报纸，表示订阅杂志，依题意，则27. 分析学生们的数学与外语两科考试成绩，抽查一名学生，记事件表示数学成绩优秀，表示外语成绩优秀，若，求，解，28. 为了防止意外，在矿内同时设有两种报警系统与，各系统单独使用时，其有效的概率系统为，系统为，在失灵条件下，有效的概率为，求发生意外时，至少有一个系统有效的概率；在失灵的条件下，有效的概率解 用事件表示报警系统有效，用事件表示报警系统有效，依题意，29. 袋中装有个球，其中个红球，个白球，个人依次摸球（不返样）证明人摸到红球的概率相等证明用事件表示第一个人摸到红球，事件表示第二个人摸到红球，事件表示第三个人摸到红球，而，所以30. 设为二事件，当互不相容时，求当独立时，求解当互不相容时，所以当独立时，31. 某种电子元件的寿命在小时以上的概率为，求个这种元件使用小时后，最多只坏了一个的概率解 设事件表示使用小时后第个元件没有坏，显然相互独立，事件表示三个元件中最多只坏了一个，则上式右边是四个两两互不相容的事件的和，且32. 加