word均值不等式的证明方法与应用摘要均值不等式在不等式理论中处于核心地位，是现代分析数学中应用最广泛的不等式之一。应用均值不等式，可以使一些较难的问题得到简化处理。本文首先系统全面地总结了均值不等式的十种证明方法,其中包括柯西法、数学归纳法、詹森不等式法、不等式法、几何法、排序法、均值变量替换法、构造概率模型法、逐次调整法、泰勒公式法；其次, 结合相关例题给出均值不等式在证明不等式、比拟大小、求最值、证明极限的存在性、判断级数敛散性、证明积分不等式方面的应用。关键词:均值不等式；数学归纳法；最值；极限；积分不等式 PROOFS AND APPLICATIONS ON AVERAGE VALUE INEQUALITY ABSTRACTAverage value inequality occupies a core position in inequality theory and is one of the most widely used inequalitiesin modern mathematics. Using average inequality can make some difficult problems simple. In this paper, ten proof methodsof average value inequality are first systematically summarized, including Cauchy method, mathematical induction, Jensen inequality, inequality method, geometry method, sorting method, variable substitution method of average value, constructing probability model method, successive adjustment method, Taylor formula method, respectively. Secondly, we give applications of average value inequality bining the corresponding examples on paring the size, solving maximum and minimum, proving the existenceof the limit, judging convergence of series and proving integral inequality.Keywords: average value inequality; mathematical induction; maximum and minimum; limit; integral inequality目 录前言41 均值不等式的证明方法51.1 柯西法51.2 数学归纳法61.3 詹森不等式法71.4 不等式法71.5 几何法81.6 排序法91.7 均值变量替换法91.8 构造概率模型法91.9 逐次调整法101.10 泰勒公式法102 均值不等式的应用122.1 均值不等式在证明不等式中的应用12132.3 均值不等式在求最值问题中的应用132.3.1 均值不等式求最值时常见错误142.3.2 均值不等式求最值“失效时的对策162.4 均值不等式在证明极限的存在性时的应用172.5 均值不等式在判断级数敛散性中的应用192.6 均值不等式在证明积分不等式中的应用193 结论21参考文献:22致谢23前言不等式在数学的各个领域和科学技术中都是不可缺少的根本工具, 而均值不等式是重中之重. 通过学习均值不等式，不仅可以帮助我们解决一些实际问题，还可以培养逻辑推理论证能力和抽象思维能力，以与养成勤于思考、善于思考的良好学习习惯. 因此，研究均值不等式的证明方法与应用，是一个既有理论意义又有广泛现实意义的问题. 均值不等式的证明与运用均值不等式来解决数学中的某些问题，在数学研究中历历可见. 如，比拟大小、求函数的最值、证明不等式常利用均值不等式的方法进展解答. 均值不等式还是高等数学中最根本的运算之一，作为最根本不等式，在解决高等数学问题中也发挥着重要的作用. 运用均值不等式可以使复杂的问题简单化，繁琐的问题清晰化. 著名数学家阿基米德最先运用了均值不等式，证明了球和圆柱的相关问题.此后科学家们对均值不等式的证明方法进展了深入的研究，并在此根底上把均值不等式应用到了其他领域. 当前, 我国许多学者对均值不等式的证明方法与应用进展了大量的研究. 如，陈益琳在学生利用均值不等式解题时遇到的常见问题作了总结性的工作.冉凯对均值不等式在数学分析中的应用做了探讨. 均值不等式在解决许多问题中发挥着重要的作用.本文将对均值不等式的证明方法与应用进展归纳和总结.1 均值不等式的证明方法首先,我们给出均值不等式.定理1 设是个正数，如此， 上式当且仅当时等号成立.上述不等式我们称之为算术几何平均不等式,以后简称均值不等式. 我们把和分别叫做这个数的算术平均数和几何平均数,分别记做和，(1-1)式即为. 下面给出均值不等式的几种证明方法.1.1 柯西法当时,由于.有,得.当时,.当时,.这样的步骤重复次之后将会得到, 令有即 .这个归纳法的证明是柯西首次提出的,我们将它称之为柯西法.1.2 数学归纳法证法一当时，不等式显然成立.假设当时,命题成立.如此当时,.因为具有全对称性，所以不妨设,.显然 ,以与.于是,.所以 =.即两边乘以,得.从而,有.所以，由数学归纳法，均值不等式对一切成立，即 .证法二当时，不等式显然成立；假设当时成立.如此当时，有，于是.所以 ,所以 .当且仅当且时等号成立.由数学归纳法知,均值不等式对一切成立，即 1.3 詹森不等式法引理1(Jensen不等式)假如为区间上的凸函数，对任意，且，如此 (1-3) 成立. 下面利用詹森不等式证明均值不等式.令 ,易知在,令 ，如此由引理1有下式,.如此 ,因此 ,即,当且仅当时等号成立.1.4 不等式法在均值不等式的证明中，可以运用一个特殊的不等式进展推导.设，对应用迈克劳林展开式并取拉格朗日余项得:,其中,. 因此,.当时，等号成立.下面给出均值不等式的证明过程.取一组数,，使.令 .如此由(全为零时,取等号)可得,，所以 .1.5 几何法作函数的图像,它是凸曲线，并在点处作切线,可见这条切线在函数的下面(见图)，因此,可以得到.所以 ，于是，即,且从上述证明中可知，当且仅当时，等号成立. 图1-11.6 排序法做序列:,，取其中的一个排列:,，如此,.不妨设.如此.由排序原理可知,即 ,所以.1.7 均值变量替换法本节运用数学归纳和变量替换相结合的方法证明均值不等式.易证时，不等式显然成立.假设当时，不等式成立.如此当时，设,如此.设不全为零,必有一个为正,另一个为负,不妨设,由于 , 从而.所以,即.易证,当且仅当时(即时)取等号,故原不等式成立1.8 构造概率模型法首先给出证明过程中要用到的一个引理.引理2 设是一个随机变量,并且数学期望存在,如此有,. 建立概率模型,设随机变量的概率分布为,其中,.由引理2可知,即 成立.1.9 逐次调整法中必存在最值数，不妨设,. 易见.于是,用取代.不变,但是增大,即,.对于各个,这种代换至多进展次(有限次).因此，.即 ,当且仅当时,取等号.1.10 泰勒公式法设，如此，将在处展开，有.因此有,取,从而.故,即 .因此有 ,即 ,亦即,故有 ,.2 均值不等式的应用2.1 均值不等式在证明不等式中的应用一般不等式的证明,常常考虑比拟法,综合法,分析法,这是高中比拟常用的方法,但有些不等式运用上述方法不好入手,故考虑均值不等式或者均值不等式与综合法相结合,这样处理,常常使复杂问题简单化,从而达到证明的目的.下面举几个例子予以说明.例1为互不相等的正数,且.求证.证明.故原不等式得证.例2证明 .证明由均值不等式得,.以上三式相加得,，即有,. 原不等式得证.例3 设圆的半径为,两弦和均与直径交,记与和的交点分别为和Q,求证.图证明 如图,设为弦的中点,连接,如此为等腰直角三角形,且.同理,.由均值不等式得， .即 ，原不等式得证.比拟大小问题是高中数学中常见的问题，准确巧妙地运用均值不等式是快速解决这类问题的关键.例4 假如，,试判断之间的大小关系.解 由均值不等式，得.由于，所以不能取等号,即.2.3 均值不等式在求最值问题中的应用均值不等式在求函数最值,解决一些取值X围问题时运用非常广泛,是重要知识点之一.在实际应用问题中,我们应因题而宜地进展变换,并注意等号成立的条件,达到解题的目的,变换题目所给函数的形式,利用熟悉知识求解是常用的解题技巧,熟练运用该技巧,对于提高思维的灵活性和严密性大有益处.例5 求如下函数的值域：(1)； (2).解 (1)因为,. 所以,值域为.(2)当时，.当时,故,值域为例6 假如,求函数的最大值.解因为,.所以,，故的最大值是4.例7制作容积一定的有盖圆柱形罐头, 当圆柱高h 和底面半径r 的比为何值时,使用的材料最省? (不计加工损耗)解设圆,当且仅当, 即时, 材料最省. 此时有 ,故,即圆柱形的高与底面半径之比为2:1时,使用的材料最省.2.3.1 均值不等式求最值时常见错误运用均值不等式解题是一项重要内容,运用这种方法有三个条件:(1)正;(2)定;(3)相等.在此运用过程中,往往需要对相关对象进展适当地放大、缩小, 或不等式之间进展传递等变形,在此过程中,学生常常因为无视条件成立而导致错误,而且错误不易发觉.因此,就这一问题列举几个例子进展说明.例8求的值域.分析在解题时,我们常常写成，故.虽然的积是常数,但不一定是正数,无视均值不等式中的各项为“正致错,因此解法是错误的.下面给出正确解法.解 当时,当且仅当,即时等号成立;当时,所以,当且仅当时取等号,所以原函数的值域为.例9 求的最小值.分析在解题时,我们常常写成，所以中,当且仅当,即,这是不可能的,所以等号不成立,这个问题无视均值不等式中等号成立条件.故原式的最小值不是2.下面给出正确解法.解 在中,令, 如