函数的单调性与最值一、选择题1.(20xx杭州模拟)下列四个函数中,在(0,+)上为增函数的是(C)(A)f(x)=3-x(B)f(x)=x2-3x(C)f(x)=-(D)f(x)=-|x|解析:当x0时,f(x)=3-x为减函数;当x时,f(x)=x2-3x为减函数;当x时,f(x)=x2-3x为增函数;当x(0,+)时,f(x)=-为增函数;来源:www.shulihua.net当x(0,+)时,f(x)=-|x|为减函数.故选C.2.(20xx湖南长沙模拟)函数f(x)=log2(4+3x-x2)的单调递减区间是(D)(A)(B)(C)(D)解析:由4+3x-x20得-1x4,即函数定义域是x|-1x2时,y4+a;当x2时,y2+a2,要使f(x)的值域为R,则4+a2+a2,解得a2或a-1.故选A.4.(20xx四川成都模拟)已知函数f (x)=在R上为增函数,则a的取值范围是(B)(A)-3a0(B)-3a-2(C)a-2 (D)a0解析:要使函数在R上是增函数则有解得-3a-2.故选B. 5.定义新运算:当ab时,ab=a;当ab时,ab=b2,则函数f(x)=(1x)x-(2x),x-2,2的最大值等于(C)(A)-1(B)1(C)6(D)12解析:由已知得当-2x1时,f(x)=x-2,当1x2时,f(x)=x3-2 .f(x)=x-2,f(x)=x3-2在定义域内都为增函数.f(x)的最大值为f(2)=23-2=6.故选C.6.(20xx山东聊城模拟)设函数y=f(x)在R上有定义,对于给定的正数k,定义函数fk(x)=若函数f(x)=则函数(x)的单调递减区间为(D)(A)(-,-1(B)(-,0(C)0,+)(D)1,+)解析:(x)=来源:www.shulihua.net=如图所示,函数(x)在区间1,+)上单调递减.故选D.二、填空题7.函数f(x)=-log2(x+2)在区间-1,1上的最大值为.解析:由于y=在R上递减,y=log2(x+2)在-1,1上递增,所以f(x)在-1,1上单调递减,故f(x)在-1,1上的最大值为f(-1)=3.答案:38.使函数y=与y=log 3(x-2)在(3,+)上具有相同的单调性,实数k的取值范围是.解析:由y=log 3(x-2)的定义域为(2,+),且为增函数,故在(3,+)上是增函数.又函数y=2+,使其在(3,+)上是增函数,故4+k0,得k-4.答案:(-,-4)9.偶函数f(x)在0,+)上为增函数,若不等式f(ax-1)f(2+x2)恒成立,则实数a的取值范围是.解析:由题意可知,f(|ax-1|)f(2+x2),所以|ax-1|2+x2恒成立.设m(x)=|ax-1|,n(x)=2+x2,其临界位置的图象如图所示:下面求出相切情形下的a的大小:如左图所示,设切点坐标为(x0,y0),则n(x)=2x0=-a,切点可表示为(-,+2),所以=-a,得a=2;如右图所示,同理可求得a=-2.综上可知a(-2,2).答案:(-2,2)三、解答题10.函数f(x)=在区间(-2,+)上是递增的,求实数a的取值范围.来源:www.shulihua.net解:f(x)=+a.任取x1,x2(-2,+),且x1x2,则f(x1)-f(x2)=-=.函数f(x)=在区间(-2,+)上是递增的,f(x1)-f(x2)0,x1+20,x2+20,1-2a,即实数a的取值范围是.11. (20xx湖北八校联考)已知函数f(x)=a2x+b3x,其中常数a,b满足ab0.(1)若ab0,判断函数f(x)的单调性;(2)若abf(x)时的x的取值范围.解:(1)当a0,b0时,任取x1,x2R,且x1x2,则f(x1)-f(x2)=a(-)+b(-),因为0a(-)0,0b(-)0,b0时,f(x1)-f(x2)0,函数f(x)在R上是增函数.同理,当a0,b0,当a0时, ()x-,则xlog1.5(-);当a0,b0时, ()x-,则xlog1.5(-).12.(20xx烟台模拟)已知函数f(x)的定义域是(0,+),且满足f(xy)=f(x)+f(y),f=1,如果对于0xf(y),(1)求f(1);(2)解不等式f(-x)+f(3-x)-2.解:(1)令x=y=1,则f(1)=f(1)+f(1),f(1)=0.(2)由题意知f(x)为(0,+)上的减函数,且x0,f(xy)=f(x)+f(y),x、y(0,+)且f=1.f(-x)+f(3-x)-2,可化为f(-x)+ f(3-x)-2f,f(-x)+f+f(3-x)+f0=f(1),f+ff(1),ff(1),则解得-1x0.不等式的解集为-1,0). 来源:www.shulihua.net