学生/课程年级高考一轮复习学科授课教师江老师日期8.23时段 核心内容函数的周期性与对称性（第2讲）知识点：对称性（一） 对称轴1.概念：如果一个函数的图像沿着一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称函数具备对称性中的轴对称，该直线称为函数的对称轴。2.常见函数的对称轴常数函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴一次函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴二次函数：是轴对称，不是中心对称，其对称轴方程为x=-b/(2a)反比例函数：既是轴对称又是中心对称，其中原点为它的对称中心，y=x与y=-x均为它的对称轴指数函数：既不是轴对称，也不是中心对称对数函数：既不是轴对称，也不是中心对称幂函数：显然幂函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点；幂函数中的偶函数是轴对称，对称轴是y轴；而其他的幂函数不具备对称性正弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中（k，0）是它的对称中心，x=k+/2是它的对称轴正弦型函数：正弦型函数y=Asin(x+)既是轴对称又是中心对称，只需从x+=k中解出x，就是它的对称中心的横坐标，纵坐标当然为零；只需从x+=k+/2中解出x，就是它的对称轴；需要注意的是如果图像向上向下平移，对称轴不会改变，但对称中心的纵坐标会跟着变化余弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中x=k是它的对称轴，（k+/2，0）是它的对称中心正切函数：不是轴对称，但是是中心对称，其中（k/2，0）是它的对称中心，容易犯错误的是可能有的同学会误以为对称中心只是（k,0）（二） 中心对称1.概念：如果一个函数的图像沿一个点旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心2.对称性的三个常用结论(1)若函数yf(xa)是偶函数，即f(ax)f(ax)，则函数yf(x)的图象关于直线xa对称；(2)若对于R上的任意x都有f(2ax)f(x)或f(x)f(2ax)，则yf(x)的图象关于直线xa对称；(3)若函数yf(xb)是奇函数，即f(xb)f(xb)0，则函数yf(x)关于点(b,0)中心对称二、周期性(1)周期函数：对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT)f(x)，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期考向一周期性【例1】（1）若函数f(x)(xR)是周期为4的奇函数，且在0,2上的解析式为f(x)则f f _.（2）已知定义在R上的函数f(x)满足f(2)2，且对任意的x都有f(x2)，则f(2 020)_.（3）已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x4)f(x2)若当x3,0时，f(x)6x，则f(919)_【套路总结】函数周期的常见结论设函数yf(x)，xR，a0.(1)若f(xa)f(xa)，则函数的周期为2a；(2)若f(xa)f(x)，则函数的周期为2a；(3)若f(xa)，则函数的周期为2a；(4)若f(xa)，则函数的周期为2a；(5)若函数f(x)关于直线xa与xb对称，那么函数f(x)的周期为2|ba|；(6)若函数f(x)关于点(a,0)对称，又关于点(b,0)对称，则函数f(x)的周期是2|ba|；(7)若函数f(x)关于直线xa对称，又关于点(b,0)对称，则函数f(x)的周期是4|ba|；(8)若函数f(x)是偶函数，其图象关于直线xa对称，则其周期为2a；(9)若函数f(x)是奇函数，其图象关于直线xa对称，则其周期为4a.【举一反三】1设定义在R上的函数f(x)同时满足以下条件：f(x)f(x)0；f(x)f(x2)；当0x1时，f(x)2x1，则ff(1)ff(2)f_.2.已知函数f(x)的定义域为R.当x时，f f .则f(6)()A.2 B.1 C.0 D.23定义在R上的函数f(x)满足f(x6)f(x)，当3x1时，f(x)(x2)2；当1x3时，f(x)x.则f(1)f(2)f(3)f(2018)等于()A336 B339 C1678 D20124.设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间1，1上，f(x)其中a，bR.若f f ，则a3b的值为_考向二对称性【例2】（1）已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+6)=f(x),且y=f(x+3)为偶函数，若f(x)在(0,3)内单调递减，则下面结论正确的是（）Af(-4.5)f(3.5)f(12.5) Bf(3.5)f(-4.5)f(12.5)Cf(12.5)f(3.5)f(-4.5) Df(3.5)f(12.5)f(-4.5)（2）已知函数f(x)满足f(1-x)=f(1+x)，当(-,1时，函数f(x)单调递减，设a=f(log412),b=f(log133),c=f(log39)，则a,b,c的大小关系是（）Aabc Bcab Cacb Dcba【套路总结】一 对称轴常见类型1.2.的图象关于直线对称3.的图象关于直线对称4.的图象关于直线对称二对称中心常见类型2.的图象关于点对称3.的图象关于点对称4.的图象关于点对称三周期与对称性的区分若，则具有周期性；若，则具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”。【举一反三】1设函数f(x)的定义域为0,4，若f(x)在0,2上单调递减，且f(x+2)为偶函数，则下列结论正确的是Af(e)f(5)f(1) Bf(1)f(5)f(e)Cf(5)f(e)f1 Df(5)f(1)0则f32、f(2)、f(3)从小到大的关系是（）Af32f(2)f(3)Bf(3)f(2)f32Cf32f(3)f(2)Df(3)f32f(2)3已知f（x）是定义域为（-，+）的奇函数，满足f（1-x）=f（1+x），f（1）=2，则f（-1）+f（3）=（）A4B0C-2D-44已知定义在R上的函数f(x)，g(x)满足g(x)=fx-1，则函数y=g(x)的图象关于（）A直线x=-1对称B直线x=1对称C原点对称Dy轴对称考向三函数基本性质的综合运用【例3】 (1)设f(x)是定义在R上周期为4的奇函数，若在区间2,0)(0,2上，f(x)则f(2 021)_.（2）已知f(x)是定义域为(，)的奇函数，满足f(1x)f(1x)若f(1)2，则f(1)f(2)f(3)f(50)_.课后练习1若函数fx的图像与函数gx=10x的图像关于直线y=x对称，则f100=（）A10 B-1 C2 D-22已知函数f（x）（xR）满足f（x）=f（2-x），且对任意的x1，x2（-，1（x1x2）有（x1-x2）（f（x1）-f（x2）0则（）Af(2)f(-1)f(1)Bf(1)f(2)f(-1)Cf(1)f(-1)f(2)Df(2)f(1)-1，且x1+x2f(-x2)Bf(-x1)f(x2)Cf(-x1)f(-x2)D不能确定4已知函数f (x)=f (-x),且当x(-2,2)时，f (x)=x+sinx,设a=f (1),b=f (2),c=f (3),则AabcBbcaCcbaDcab5已知函数f(x)=x2+log2x，则不等式f(x+1)-f(2)0的解集为（）A(-3,-1)(-1,1) B（-3,1） C(-,-1)(3,+) D(-1,1)(1,3)6已知函数y=f(x+1)关于直线x=-1对称，且f(x)在(0,+)上单调递增，a=f-log315，b=f-2-0.3，c=f2log32，则a，b，c的大小关系是（）Aabc Bbac Ccab Dbca7已知函数fx为偶函数，且函数fx与gx的图象关于直线y=x对称，若g2=3，则f-3=A-2 B2 C-3 D38已知定义在R上的函数fx在1,+上单调递减，且fx+1是偶函数，不等式fm+2fx-1对任意的x-1,0恒成立，则实数m的取值范围是（）A-3,1 B-4,2 C-,-31,+ D-,-42,+9设函数f(x)定义在实数集上，f(2x)f(x)，且当x1时，f(x)lnx，则有Af13f2f12 Bf12f2f13Cf12f13f2 Df2f12f1310已知函数fx的定义域为R的奇函数，当x0,1时，fx=x3，且xR，fx=f2-x，则f2017.5=A-18 B18 C0 D111函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称，如图所示，则方程(f(x)2-5f(x)+6=0的所有根之和为（）A8B6C4D212定义在R上的偶函数f(x)满足f(1+x)=f(1-x)，当x0,1时，f(x)=-x+1，设函数g(x)=e-|x-1|(-1x11的解集为（）A(-1,0)B(-1,0)(0,1)C(-1,0)(0,+)D(-1,0)(1,+)14已知定义域R的奇函数fx的图像关于直线x=1对称,且当0x1时,fx=x3,则f52=（）A-278B-18C18D27815已知函数f(x)在3,+)上单调递减，且f(x+3)是偶函数，则a=f(0.31.1)，b=f(30.5)，c=f(0)的大小关系是（）