襄阳市优质高中2017届高三联考试题数学（理科）第卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.已知集合，则 A. B. C. D.2.已知是关于的方程的一个根，则 A. B. C. D.3.设向量，且与的方向相反，则实数的值为 A. B. C. 或 D.的值不存在4.下列说法错误的是（ ） A. 若，则 B. “”是的充分不必要条件 C. 命题“若，则”的否命题是“若，则” D.已知，则为假命题5.在平面直角坐标系中，双曲线的中心在原点，焦点在轴上，一条渐近线与直线垂直，则双曲线的离心率为 A. B. C. D.6.已知成等差数列，成等比数列，则的值为 A. B. C. D.7.按如下程序框图，若输出结果为170，则判断框内应补充的条件是 A. B. C. D. 8.已知某几何体的三视图如图所示（正视图的弧线是半圆），根据图中标出的数据，这个几何体的表面积是 A. B. C. D. 9.已知函数，则函数的大致图象为10.已知，在矩形中，,点P为矩形ABCD内一点，则使得的概率为 A. B. C. D.11.已知函数是偶函数，则下列结论可能成立的是 A. B. C. D. 12.抛物线的焦点为F,准线为，A,B是抛物线上的两个动点，且满足，设线段AB的中点M在上的投影为N，则的最大值是 A. B. C. D.第卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.从某校高三年级随机抽取一个班，对该班50名学生的高校招生体检表中的视力情况进行统计，其频率分布直方图如图所示.若某高校A专业对视力的要求在以上，则该班学生中能报A专业的人数为 . 14.已知函数的图象经过点，且相邻两条对称轴的距离为，则函数在上的单调递减区间为 .15.将三项式展开，当时，得到以下等式：观察多项式系数之间的关系，可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角形，其构造方法为：第0行为1，以下各行每个数是它正头顶上与左右两肩上3个数（不足3个数的，缺少的数记为0）的和，第行共有个数，若在的展开式中，项的系数为75，则实数的值为 . 16.若，对任意的，都有，且.设表示整数的个位数字，则 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题满分12分）在中，角的的对边分别为 （1）若成等比数列，求的值； （2）若成等差数列，且，设，的周长为，求的最大值.18.（本题满分12分）近年来我国电子商务行业迎来蓬勃发展新机遇，2016年双11期间，某网络购物平台推销了A,B,C三种商品，某网购者决定抢购这三种商品，假设该名网购者都参与了A,B,C三种商品的抢购，抢购成功与否相互独立，且不重复抢购同一种商品，对A,B,C三件商品抢购成功的概率分别为，已知三件商品都被抢购成功的概率为，至少有一件商品被抢购成功的概率为. （1）求的值； （2）若购物平台准备对抢购成功的A,B,C三件商品进行优惠减免，A商品抢购成功减免2百元，B商品抢购成功减免4比百元，C商品抢购成功减免6百元.求该名网购者获得减免总金额（单位：百元）的分别列和数学期望.19.（本题满分12分）如图，在四棱锥中，为棱的中点，异面直线与所成的角为. （1）在平面内找一点，使得直线平面，并说明理由； （2）若二面角的大小为，求二面角的余弦值.20.（本题满分12分）已知椭圆的一个焦点为，其左顶点A在圆上. （1）求椭圆的方程； （2）直线交椭圆于两点，设点关于轴的对称点为（点与点不重合），且直线与轴的交于点，试问的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由.21.（本题满分12分）已知函数 （1）试判断的单调性； （2）若在区间上有极值，求实数的取值范围；（3）当时，若有唯一的零点，试求的值.（注：为取整函数，表示不超过的最大整数，如；以下数据供参考：）请考试在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第一题记分.22.（本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以原点O为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 （1）求曲线C的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线； （2）设直线与曲线交于两点，若点的直角坐标为，试求当时，的值.22.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数（1） 若，恒有成立，求实数的取值范围；（2） 若，使得成立，试求实数的取值范围.襄阳市优质高中2017届高三联考试题数学（理科）（参考答案）题号123456789101112答案CDABDACDADBB13、20 14、 15、1 16、617、解：（） 由成等比数列，得 2分又由正弦定理，得 4分 分（）由角成等差数列，得 又，由正弦定理，及得 分周长 10分 当即时所以周长的最大值为6 分18、解：（）由题意，得， 因为，解得 4分（）由题意，令网购者获得减免的总金额为随机变量（单位：百元），则的值可以为0，2，4，6，8，10，12 5分而； ； 9分所以的分布列为：024681012于是有12分19、解：（I）延长交直线于点， 点为的中点，即四边形为平行四边形，即，平面，平面， 4分 ，平面，平面，故在平面内可以找到一点，使得直线平面 6分 （II）法一、如图所示，异面直线与所成的角为，即 又，平面 又即平面 因此是二面角的平面角，其大小为 8分 建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设，则，易知平面的法向量为设平面的法向量为，则，可得：令，则， 10分设二面角的平面角为，则= 二面角的余弦值为 分法二、同法一可得平面， 过点作交的延长线于，连接平面 平面 又，平面即为二面角的平面角10分在中 二面角的余弦值为 分20、解：（ ）椭圆的左顶点在圆上，又椭圆的一个焦点为， 椭圆的方程为 分（ ）设，则直线与椭圆方程联立化简并整理得， ， 分由题设知 直线的方程为令得 点 分分（当且仅当即时等号成立）的面积存在最大值，最大值为1. 分21、解：（），当时，函数在区间上单调递减；当时，由，解得当时，此时函数g（x）单调递减；当时，此时函数单调递增 分（），其定义域为， 分令，当时，恒成立，在上为增函数，又，函数在内至少存在一个变号零点，且也是的变号零点，此时在区间内有极值 分当时，即时，恒成立，函数在单调递减，此时函数无极值 6分 综上可得：在区间内有极值时实数的取值范围是 分（）时，函数的定义域为由（）可知：知时，又在区间上只有一个极小值点记为，且时，函数单调递减，时，函数单调递增， 由题意可知：即为 分，消去可得：，即令，则在区间上单调递增又由零点存在性定理知 分22、解：（）曲线：，可以化为，因此，曲线的直角坐标方程为分它表示以为圆心、为半径的圆 分（）法一：当时，直线的参数方程为(为参数) 点在直线上，且在圆内，把代入中得 6分设两个实数根为，则两点所对应的参数为，则， 8分 分法二：由（）知圆的标准方程为即圆心的坐标为半径为，点在直线上，且在圆内 6分圆心到直线的距离 8分所以弦的长满足 分23、解：（）由知，欲使，恒有成立，则需满足4分所以实数的取值范围为 分（）由题意得 6分使得成立 即有 8分又可等价转化为或或所以实数的取值范围为 分- 1 -