正弦定理教学重点：正弦定理教学难点：正弦定理的正确理解和熟练运用，边角转化。多解问题1. 正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等, 即 丄二丄二丄si nA si nB si nC2. 三角形面积公式111在任意斜厶 ABC 当中 Saabc= absin C acsin B bcsin A2 2 23正弦定理的推论：丄=丄=丄 =2R （R ABC外接圆半径）sin A sinB sinC4.正弦定理解三角形1）已知两角和任意一边，求其它两边和一角；2）已知两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角3）已知a, b和A,用正弦定理求B时的各种情况：（多解情况） 若A为锐角时：a bsinA无解a bs inA一解（直角）bsi nA ab二解（一锐,一钝）a b一解（锐角）已知边a,b和AaCH=bsinA无解a=CH=bsinA仅有一个解baaCH=bsinAab有两个解a b仅有一个解若A为直角或钝角时a b无解 a b 一解（锐角）1、已知m中，一 _，三=_丁，则角二等于(D)D.30B2、AABC的内角A、B、C所对的边分别为 a、b、c,若sinA=；小=：一 sin B，则a等于D.-B .人1.在 ABC 中，若 sin2A sin2B，贝U ABC 一 -定是（）D sin2A sin2BA、等腰三角形B、直角三角形C、等腰直角三角形D、等腰或直角三角形2C0S(A B)sin(A B)0,: A B 2,或A B3.在Rt ABC中，c=，则sin As in B的最大值是2解析在 Rt ABC中,C=，二 sin Asin B2sinAs(i A) sinAcOsA4.若 ABC 中，tanA201,cosB22A时，sin AsinB取得最大值-。4-3、1010 ，则角C的大小是解析1Q tan A ,cos B2匹Q。B10sinB 迈10tanB -3tanC tan( A B)tan(A B)tan A tanBtan Ata nB 11QO C解：由正弦定理abc2R得: sin Aabsin B -sinA sin B sinC2R 2Rsi nCc。2R所以由2 sinAsin Bsin C 可得：(皂)2b c-,即:a2 bc。2R2R 2R又已知2abc，所以 4a2 (bc)2,所以4bc(b2 2c)，即(b c)20 ,因而bc。故由2a b c得：2a bb 2b,a b。所以 a b c, abc7.在厶ABC中，已知2asin Bsin C，试判断厶ABC的形状。sin2 A为等边三角形。6 .在 ABC 中，sinBaA.必要不充分条件B成立的 （E.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件1. ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若 c=、_2 , b=. 6 , B=120 ,则 a 等于A. -.6B.2D. 2答案 D3. 下列判断中正确的是A. ABC 中，a=7, b=14, A =30 ,有两解B. ABC 中，a=30, b=25, A=150，有一解C. ABC 中，a=6, b=9, A=45，有两解D. ABC 中，b=9,c=10, B=60 ,无解答案 B4. 在厶 ABC 中，若 2cosBsin A=sin C,则厶 ABC 一定是（）A.等腰直角三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等边三角形答案 B10.在厶 ABC 中，已知 a=、3,b=、. 2 , B=45 ,求 A、C 和 c.解 / B=45v 90 且 asin Bv bv a, ABC 有两解.由正弦定理得sin A=asinB= 3sin45 =工，b422则A为60或120 . 当 A=60 时，C=180 -( A+B)=75 ,c_bsinC= 2sin75 =、. 2sin(4530 ) = . 6.2c= =.sin B sin 45sin452 当 A=120。时,C=180 -( A+B)=15 ,bsinC_ 2sin15 _2sin(4530 ) _ . 6、.2c= =一.sin B sin 45sin 452故在 ABC 中，A =60 ,C=75 , c=-?-或 A=120 ,C=15 , c=兰 -.2 22 212.在厶ABC中，a、b、c分别表示三个内角 A、B、C的对边，如果(a+b ) sin (A-B)=(a2- b2) sin (A+B),判断三角形的形状.解 方法一已知等式可化为a2 sin (A-B) -sin(A+B)=b2 -sin(A+B)-s in(A-B):2 2 2a cos As in B=2b cos Bsi nA由正弦定理可知上式可化为：sin 2a cos A sin B=sin 2BcosBsin A sin Asin B(sin AcosA-sin BcosB)=0 sin2A=sin2 B,由 0v 2A,2 B v 2得2A=2B或2A= -2B,即A=B或A = -B, ABC为等腰或直角三角形.2方法二同方法一可得 2a2cosAsin B=2b2sin AcosB2 2 2 2 2 2由正、余弦定理，可得 a2b b c- = b2a a c一- a2( b2+c2- a2)= b2( a2+c2- b2)2bc2ac2 2 2 2 2 2 2 2即(a-b)( a +b - c)=0 a=b或a+b =c ABC为等腰或直角三角形 .2.在 ABC中，已知/ B = 45, c= 2強,b =羊，则/ A等于（）3A. 15B. 75C. 105D. 75。或 15解析：根据正弦定理Csin Cb sin B ，sin C =csin Bb2 ；2X 卡4.33答案：D例1已知a、b ABC的边，A、B分别是a、b的对角，且型A -，求sin B 3b的值解：.亠旦，业a,又泌3（这是角的关系）,3 252 2.B、C,且a、b、c成等差数列bsin A sin B C= 60或 C= 120 因此 A = 75或 A = 15sin A sin B sin B b sin B 2a 3a b-（这是边的关系）于是，由合比定理得 b 2b例2已知 ABC中，三边a、b、c所对的角分别是 A、 求证：si nA + si nC = 2s inB 证明： a、b、c成等差数列， a+ c= 2b（这是边的关系又b, asin A sin B sin Cc皿sin B将、代入，得bsin Absin Csin B sin B2b整理得sinA+ sinC= 2sinB（这是角的关系