北大附中高二第二学期数学期中考试_班 _一、选择题：（30分）1若用C、R和I分别表示复数集、实数集和纯虚数集，其中C为全集，则AC=RI BRI=0 C DRI=2已知x、y是复数，（1）若，则x=y=0，（2）若xy=0，则x=0或y=0（3），（4）若则x是纯虚数。上面的命题中正确的命题的个数是A0 B1 C2 D33若ab0则A BC D4某个命题与自然数n有关，如果当n=k(kN)时该命题成立，那么可推出n=k+1时该命题也成立，现已知当n=100时该命题不成立，那么可以推得：A当n=101时该命题不成立B当n=101时该命题成立C当n=99时该命题不成立D当n=99时该命题成立5复数等于A BC D6集点在（-1，0），顶点在（1，0）的抛物线方程是ABCD7用一个与圆柱母线成60度的平面截圆柱，截口是一个椭圆，这个椭圆的离心率是A B C0.25 D8设双曲线C：的左准线与x轴交点是M，则过M与双曲线C有且只有一个交点的直线共有A2条 B3条C4条 D无数条9过抛物线的焦点做直线交抛物线与，两点，若则|AB|等于：A2p B4pC6p D8p10将曲线C向右平移3个单位，再向下平移1个单位得到曲线C，若曲线C的方程为，则曲线C的焦点坐标为：A（6，1），（0，-1） B（-6，1）（0，1）C（-3，2），（-3，-4） D（3，2），（3，-4）二、填空题：（32分）11椭圆：的离心率e=_，准线方程：_.12复数的实部是_，虚部是_.13已知等比数列中，则等于_。14计算：。15双曲线中心在原点，对称轴为坐标轴，过，一条渐近线方程为12x-5y=0，则双曲线方程为：_16已知方程|z-2|-|z+2|=a表示等轴双曲线（实轴和虚轴长度相等的双曲线），则实数a的值为：_17已知|z|=2，则当z=_时，有|z+5i|的最大值等于_18某桥的桥洞是抛物线，桥下水面宽16米，当水面上涨2米后达警戒水位，水面宽变为12米，此时桥洞顶部距水面高度为_米。（精确到米）三过程题：19（6分）求满足下列条件的复数z：20（8分）过抛物线的焦点，且倾斜角为的直线交抛物线于P、Q两点，O是坐标原点，求OPQ的面积。21（12分）已知数列满足：，, （nN）（1）计算、，猜想数列的通项公式；用数学归纳法给出证明。（2）比较与的大小，证明得到的结论。22（12分）设双曲线C的中心在原点，对称轴为坐标轴，离心率e=2，其中一个焦点与抛物线相同，直线a：y=kx+1与双曲线C交于A、B两点，（1）求双曲线C 的方程；（2）k 为何值时，以AB为直径的圆过原点；（3）是否存在这样的实数k，使A、B关于直线y=mx对称(m为常数)？若存在求出k；若不存在说明理由。北大附中高二第二学期数学期中考试参考答案一1.D 2.B 3.A 4.C 5.D 6.D 7.B 8.C 9.B 10.B二11，12-2，31314-1+(7-9i)/5=-12/5-9i/51516172i 718三19解设z=x+yi, x,yR解得：所求复数为：z=3i20解：（1）计算得：、；(1分)猜想的通项公式为：其中nN下面用数学归纳法给出证明：直接验算知，, 满足。假设n=k和n=k+1时猜想成立，即；猜想也成立，由数学归纳法知：的通项公式是其中nN（2），、，、当n7有，成立， (1分)下面证明这一结论：n=7时已验证命题成立：假设n=k（7）时有成立，n=k+1时：，这是因为k7时，命题也成立，由数学归纳法知：对n7得自然数，有成立。(5分)综上所述：当n=1或n7时：；当使：2n6时，。(6分)21解：抛物线的焦点为F（1，0），过F点倾斜角为的直线方程设为y=-(x-1)与联立。可以求得|PQ|=8。坐标原点O到直线y=-(x-1)的距离为OPQ的高，其数值为，故所求OPQ的面积为（面积单位）。22略解：（1）所求双曲线C的方程：（2）与直线a：y=kx+1联立得：0得设，要使以AB为直径的圆过原点，就要OAOB，也即：利用和韦达定理，得，k=1这个结果也满足条件。（3）若双曲线C上存在A、B关于直线y=mx对称，则，AB的中点，应在直线y=mx上，于是：再由代入：。得到k=3/m这与矛盾。故所求k不存在。