第五章 质点的角动量 角动量守恒定理5-1 质点的角动量 角动量定理一 质点的角动量我们已经知道，在讨论单个质点或质点系统（包括刚体）的平动运动时，线动量是很有 用的物理量，例如，在碰撞中线动量是守恒的。对于单个质点，线动量为P = mv对于质点 系统，线动量为P = Mv其中M为系统的总质量而v是质心的速度。在转动运动中，什么量 和线动量相类似呢？我们将这个量称之为角动量。下面就单个质点这一特殊情况来定义角动 量，以后推广到质点系统。假设 有一质量为m和线动量为P的质点A，这质点相对于惯性参考系的原点O的位置矢量 为r如图（5 -1）所示图(5 -1)定义这个质点对原点 0 的角动量为L = r x p = r x mv（5-1）讨论1）其中r是代表以给定点0为原点到质点的位置矢量2）其大小L = rmvsin9式中9是r与v之间的夹角，它的方向垂直与r与p所组 成的平面，并由右手螺旋法则确定,见图（5-1）3)我们也可将 L 的大小表示为L = (r sin9 )p = r p 或 L = r(p sin9 )= rp丄丄式中的厂丄为r垂直于P的分量，“丄为p垂直于r的分量，故角动量也可称为动量矩。4）应当指出，质点的角动量与位置矢量r和动量p有关，也就是与参考点0的选 择有关。因此在讲述质点的角动量时，必须指明是对哪一点的角动量。5）在国际单位制中，角动量的量纲为ML2T-1，符号是kg m2S，也可表示为J s二质点的角动量定理质点在运动时导致角动量L随时间变化的根本原因是什么？ 由L = r x mv其中dL = d dt dtdr=vdt对其两边微分,、drd (mv)x mv 丿=x mv + r x_dtv x mv = 0( dt)d(mv) dP=Fdtdt5-2)dLF=r x卜 dt即：质点m对参考点o的角动量随时间变化率等于位置矢量r和质点所受的合外力F的 dt矢量积。定义：力F对于参考点o的力矩M,为从参考点0到力的作用点A的矢量r和F的矢量积, 即M = rx F（5-3）由此定义可知，力矩是一个矢量，其大小M = Frsin9 = Fd方向垂直于r、F所决定的 平面，由右手螺旋法则确定。图（5-2）由图（5-2）可以看出，力矩的方向和F与r的夹角有关即其中的9角需要小于兀。 由上述定义可知：质点m对给定参考点o的角动量变化率dL=r x F = M（5-4）dtM :质点所受的外力矩F :质点所受的合外力（5-4）称为质点的角动量定理的微分形式，如果各分力与o点共面，力矩只存在正、反两 个方向。可设定顺时针为正向，用代数的方法求质点的合力矩。质点的角动量定理也可用积分形式来表示dL = MdtdL由=M,dt5-5)A Mdt = n dL = L - Lt0L0t02)当 M = 0 时，有L 一L = 0 即 L = L 0o讨论1）rMdt称为冲量矩，L-Lo为角动量的增量物理意义：当质点不受力矩或合力矩等于零（向心力），质点的角动量前后不变。例 5-1 地球绕太阳的运动可以近似地看作为匀速圆周运动，求 地球对太阳中心的角动量。解 已知从太阳中心到地球的距离r = 1.5x 1011 m，地球的公转速度v = 3.0x 104 m.*，而地球的质量为m = 6.0xIO24kg。代入（5-1），即可的地球对于太阳中心的角动量的大小为兀L = mvr sin0 = 6.0 x 1024 x 1.5 x 1011 x 3.0 x 104 x sin = 2.7 x 1040 (kg 例5-2单摆的角动量大小为L = mvr，v为变量。在t = 0时从水平位置静止释放，求单摆 至垂直位置时，此过程单摆所受的冲量矩大小？ 解 初角动量大小为L = mvr = 0 ；时刻t下摆至垂直位置，角动量大小为L = mv r。则此过程单摆所受的 00丄丄冲量矩大小等于L - L = mv r = mrx 2gr。0丄例5-3根据玻尔假设，氢原子内电子围绕核运动的角动量只可能是h2“的整数倍，其中h 是普朗克常数，它的大小为6.03x 10-34kg -m2S。已知电子圆形轨道的最小半径r = 0.529 x 10-10 m，求在此轨道上电子运动的频率v。由于是最小半径，所以有L = mvr = 2兀 mr 2U于是h4兀 2 mr 2= 6.59x1015(Hz)6.03 x 10 -344兀 2 x 9.1 x 10-31 x (0.529 x 10-10)角动量只能取某一些分立的值，这种现象叫角动量的量子化。它是原子系统的基本特征之一。根据量子理论，原子中的电子围绕核运动的角动量L由式L2 = 21 (l + 1)给出，式中 二h2兀,l是正整数(0, 1, 2, 3,)。本题中玻尔关于角动量的假设还是量子力学的正确结果。5-2 质点的角动量守恒根据质点的角动量定理 =M (M = rxF)如果 M = rxF = 0则dtdL=odt即：L =常矢量当质点m所受的合外力对某参考点o的力矩M为0时，质点对该点的角动量的时间变化率为零，即质点对该点的角动量L守恒。此关系称为质点的角动量守恒。dt关于力矩等于零这一条件，应该指出的是由于M = r x F = 0,所以它既可能是质点 的外力为零,也可能是外力并不为零,但是在任意时刻外力总是与质点对于固定点的矢径平 行或反平行。比如，质点所受的合外力的方向始终通过参考点，其角动量守恒。如行星围绕 太阳运动，以及微观粒子中与此类似的运动模型，服从角动量守恒定理。例5-4有一人造地球卫星到地球中心的最大距离和最小距离分别是R和R，设卫星对应AB的角动量分别是L和L，动能分别是E , E ，比较L和L，及E 和E 的大小。A B KA KB A B KA KB解 由于卫星受地球对它的万有引力，所以它是过地球中心的，所以对于地球中心，引力矩 为零，质点的角动量守恒。L = LABmv r = mv rB B A AE v 2 RKA = A = (A )2E v 2 RKBBB由于RR E EA BKB KA5-3 *质点系的角动量定理一个质点系对某给定点的角动量定义为其中各质点对该定点的角动 量的矢量叠加，即5-6)L =工L = Yr xm vi i i iiidL = dL = dt dtii将上式对时间求导，即ixmv + r x(mv )|卫ii i dt ii+ S M 二工Mi外i外ii=工 b + r x F =工1 x Fi i i i 内 ii 外i 内i i i其中内力矩在求矢量和时成对相消，故得质点系的角动量定理的微分形式为：=工 M = M（5-7）dt1外iM ：质点所受外力矩的矢量和结论 1）一个质点系所受的和外力矩等于该质点系的角动量对时间的变化率（力矩和角动量都相对于惯性系中同一定点）。这就是质点系的角动量定理。2）由dt1外iMdt = J dL = L - L ,0则L = Lo或L =恒矢t0L0量，这表明，当质点系相对于某一定点所受的和外力矩为零时，该质点系相对于该定点的角 动量将不随时间改变。这就是一般情况下的角动量守恒定理。例 5-5 已知两人质量相等并且忽略滑轮和绳子质量及滑轮和转轴的摩擦，当一人用力向上 爬而另外一人握住绳子不动，那么在滑轮两边的两人将1）两人同时到达终点线； 2）用力向上爬者先到终点线 3）握住绳子不动者先到终点线； 4）以上结果都不对。解：以m和m为质点系，忽略轮和绳子的质量以及滑轮和转轴之间的摩擦，由于m = m1 2 1 2系统受合外力矩为零，系统的角动量守恒。即mvR-mvR = 0，得v = v不论体力强弱，两人等速上升。若m丰m系统的和外2 2 1 1 2 1 2 1 力矩不为零，角动量不守恒。可应用质点系角动量定理进行具体分析讨论。 本章提要1 质点的角动量与角动量定理：对于惯性系中的某一定点， 力 F 的力矩：M = rx F质点的角动量：L =rxp=rxmv质点的角动量定理的微分形式：牛=r x F = Mdt积分形式：Mdt = J dL = L - L0t0L0其中M为合外力矩，它和L都是对同一给定点而言的。2质点的角动量守恒定理：对某一给定点，质点受的外力矩为零时，则它对于给定点的L = 常矢量。3质点系的角动量及角动量定理r xmvi i ii质点系的角动量：L =工L =工质点系的角动量定理的微分形式：dL =E M = Mdt1外i积分形式 ：J Mdt = J dL 二 L - L0tL00其中 M 为质点系所受外力矩的矢量和，（系统内的内力矩大小相等方 向相反，矢量和为零）L-Lo为质点系的角动量增量。（M和各质点的角动量均对同一给定点）4 质点系的角动量守恒定理：当质点系对给定点所受的合外力矩为零时，其系统的角动量守恒。即M = 0贝IL =恒矢量。思考题5-1质量m的质点作圆锥摆运动，质点绕0点在水平面内作匀速圆周运动的速率为v，如图 所示，试分析质点在运动过程中。1 ）质点的动量是否守恒？V P(a)0(c)2）质点对A点的角动量等于多少，是否守恒？3）质点对oA轴的角动量是否守恒？5-2已知地球的质量为m，太阳的质量为M，地心与日心的距离为R,引力常数为G,地 球绕太阳作圆周运动的轨道角动量为A）mpGMR ；B）.GMm/RC）叭嗦D）（GMm2R）5-3作匀速圆周运动的质点，对于圆周上某一定点，它的角动量是否守恒？对于通过圆心而 与圆平面垂直的轴上的任一点，它的角动量是否守恒？对于哪一个给定点，它的角动量守 恒？5-4 一个粒子飞过一个金原子核而被散射，金原子核基本上未动如图。在这一过程中，对金原子核中心来说，粒子的角动量是否守恒？为什么？粒子的动量是否守恒？5-5质量为0.05kg的小块物体，置于一个光滑水平桌面上。有一绳子一端连接此物，另一 端穿过桌面中心的小孔（）。该物体原以3山叹 的角速度在距孔0.2m的圆周上转动。今将 绳从小孔缓慢往下拉，使该物体之转动半径减小为0m，则物体的角速度 =5-6如图所示，钢球A和B质量相等，正被绳子牵着以4radS的角速度围绕竖直的轴转动, 二球与转轴间的距离都为15cm。现在把转轴上的圆环C下移，使得两小球离开转轴的距离 缩减为5cm。则此时钢球的角速度 =习题5-1如图所示，一个质量为2.0kg的质点P，其位置矢量为r,速度矢量为v。它受到力F的作用。假定这三个矢量共面，且r = 3.0m，v二4.0与F = 2.0N。试计算1）质点对原点 0 的角动量。2）作用在质点上的力矩。5-2 （1）设氢原子中电子在圆形轨道中以速率v绕质子运动。作用在电子上的向心力为电作用力，其大小为r2,其中e为电子、质子的电量，r为轨道半径，0为恒量。试 / 0证明轨道半径为e2