3.3.2 简单的线性规划问题【基础练习】1若x，y满足则x2y的最大值为()A1B3C5D9【答案】D【解析】如图，画出可行域，zx2y表示斜率为的一组平行线，当zx2y过点C(3,3)时，目标函数取得最大值zmax3239.故选D2若x，y满足约束条件则zx2y的取值范围是()A0,6B0,4C6，)D4，)【答案】D【解析】如图，可行域为一开放区域，所以直线zx2y过点A(2,1)时，z取最小值4，无最大值故选D3(2019年山东枣庄校级月考)已知实数x，y满足约束条件则的最小值是()A2B2C1D1【答案】D【解析】作出不等式组对应的平面区域如图的几何意义是区域内的点P(x，y)与定点A(0，1)所在直线的斜率，由图象可知当P位于点D(1,0)时，直线AP的斜率最小，此时的最小值为1.故选D4某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为()类型甲乙原料限额A/吨3212B/吨228A12万元B16万元C17万元D18万元【答案】B【解析】设每天生产甲、乙两种产品分别为x，y吨，利润为z万元，则目标函数为z3x4y.作出二元一次不等式组所表示的平面区域(阴影部分)即可行域由z3x4y得yx，平移直线yx，由图象可知当直线yx经过点A(0,4)时，直线yx的截距最大，此时z最大，zmax3x4y16.即每天生产甲、乙两种产品分别为0吨，4吨，能够产生最大的利润，最大的利润是16万元故选B5如果实数a，b满足条件则的最大值是_【答案】【解析】先根据约束条件画出可行域，如图，表示可行域内的点平P(a，b)与原点(0,0)连线的斜率，当连线OP过点B时，取最大值，最大值为3；当连线OP过点A(1,1)时，取最小值，最小值为1，1,3又2，当3，即a，b时，的最大值为.6(2019年云南曲靖期末)已知实数x，y满足则z2|x2|y|的最小值是_【答案】4【解析】画出不等式组表示的可行域如图阴影部分，其中A(2,4)，B(1,5)，C(1,3)，x1,2，y3,5z2|x2|y|2xy4.当直线y2x4z过点A(2,4)时，直线在y轴上的截距最小，此时z有最小值，zmin22444.7已知x，y满足若zx3y的最大值为12，试求k的值【解析】由于k的不同取值将影响不等式所表示的平面区域，故应对k的取值进行讨论若k0，在平面直角坐标系中画出不等式组所表示的平面区域(如图)，由于zx3y，所以yxz，因此当直线yxz经过区域中的点A(0，k)时，z取到最大值3k，令3k12，得k4，这与k0相矛盾，舍去若k0，在平面直角坐标系中画出不等式组所表示的平面区域(如图)当直线yxz经过区域中的点A时，z取到最大值，令12，得k9.综上，所求k的值为9.8若x，y满足求：(1)z2xy的最小值；(2)zx2y2的范围；(3)z的最大值【解析】作出满足已知条件的可行域为ABC内(及边界)区域(如图)其中A(1,2)，B(2,1)，C(3,4)(1)目标函数z2xy表示直线l：y2xz，z表示该直线纵截距，当l过点A(1,2)时纵截距有最小值，故zmin4.(2)目标函数zx2y2表示区域内的点到坐标原点的距离的平方，又原点O到AB的距离d且垂足是D在线段AB上，故OD2zOC2，即z.(3)目标函数z1，则表示区域中的点与坐标原点连线的斜率，当直线过点A时，斜率最大，即max2，即zmax3.【能力提升】9设不等式组表示的平面区域为D若指数函数yax(a0且a1)的图象经过区域D上的点，则a的取值范围是()A，3B3，)CD【答案】D【解析】由约束条件作出可行域如图，联立解得A(1,3)，当函数yax(a0且a1)的图象经过区域D上的点A时，有a13，即a.由指数函数图象的特点可知，当a时，指数函数yax(a0且a1)的图象经过区域D上的点故选D10设zxy，其中实数x，y满足若z的最大值为6，则z的最小值为()A3B2C1D0【答案】A【解析】作出不等式组对应的平面区域，由zxy，得yxz，平移直线yxz，由图象可知当直线yxz经过点A时，直线yxz的截距最大，此时z最大为6，即xy6.经过点B时，直线yxz的截距最小，此时z最小由得即A(3,3)，直线yk过点A，k3.由解得即B(6,3)此时z的最小值为z633，故选A11(2019年湖北武汉模拟)设x，y满足约束条件且zxay的最小值为7，则a_.【答案】3【解析】根据约束条件画出可行域如图1中阴影部分所示，可知可行域为开口向上的V字型，在顶点处z有最小值，顶点为，则a7，解得a3或a5.当a5时，如图2，虚线向上移动时z减小，故z，没有最小值，故只有a3满足题意 图1 图212福州市某大型家电商场为了使每月销售空调和冰箱获得的总利润达到最大，对某月即将出售的空调和冰箱进行了相关调查，得出下表：资金空调冰箱月资金最多供应量进货成本/百元3020300工人工资/百元510110每台利润/百元68问：该商场如果根据调查得来的数据，应该怎样确定空调和冰箱的月供应量，才能使商场获得的总利润最大？总利润的最大值为多少元？【解析】设每月空调和冰箱的月供应量分别为x，y台，总利润为z百元，则由题意得即目标函数是z6x8y，即yx.平移直线yx，当直线过P点时，z取最大值由得P点坐标为P(4,9)，将(4,9)代入得zmax648996(百元)，即空调和冰箱每月分别供应4台和9台可使商场获得的总利润最大，总利润最大值为9 600元- 1 -