18.1 勾 股 定 理 （第一课时）一、教学内容：勾股定理的探究、证明与简单应用。二、教学目标：1、知识与技能：（1）、使学生掌握勾股定理及其简单应用；（2）、探索并理解直角三角形的三边之间的数量关系，进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力；（3）、在勾股定理应用的过程中，培养学生的数学实际应用能力。2、过程与方法：（1）、经历用数格子的办法探索勾股定理的过程，进一步发展学生的合情推理意识和主动探索的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系；（2）、通过动手操作、分组合作学习活动，学会在活动中与他人合作，并能与他人交流思维的过程与结果。3、情感、态度与价值观：通过动手操作、独立思考与合作学习的过程，提高学生学习数学的兴趣，形成锲而不舍的钻研精神，培养独立思考的良好学习习惯。三、教学重难点及关键：1、教学重点：勾股定理的探究及其应用；2、教学难点：勾股定理的发现过程及勾股定理的证明；3、教学关键：通过用数格子的办法探索勾股定理，并用面积法证明勾股定理。四、教学方法：引导发现与启发讲解相结合。五、教学准备：1、教师准备：投影仪、多媒体教学，四个全等的直角三角形，三个边长等于直角三角形三边长的正方形。2、学生准备：四个全等的直角三角形以及三个边长等于直角三角形三边长的正方形。六、教学过程：（一）、创设问题情境，导入新课： BCA1、问题情境： 受台风影响，一棵树在离地面5米处断裂，树的顶部落在离树的底部12米处，这棵树折断前有多高？ （不解答） （1）、折断的大树与地面形成了什么图形？ （2）、直角三角形是特殊的三角形，它的 三条边之间有什么特殊关系呢？ 2、引出新课： 直角三角形是特殊的三角形，除了具备上述特殊性质外，它的三边也具有特定的关系，这个关系早在公元前3世纪，我国数学家赵爽就证明了直角三角形三边之间的关系，我们称之为勾股定理。今天我们就来探索这个关系。（二）、合作交流，解读探索：1、创设问题情境（一）： （1）、在坐标纸上画一个格点直角三角形，然后分别以直角三角形的各边为正方形的一边，向形外作正方形。如课本第50页图181，观察图181，回答下列问题： 、以a为边长的正方形中有 个小方格，即它的面积S1为 个面积单位； 以b为边长的正方形中有 个小方格，即它的面积S2为 个面积单位； 以c为边长的正方形中有 个小方格，即它的面积S3为 个面积单位； 你是怎样得出上面结果的？ 、图191中，三个正方形的面积之间有什么关系？ 学生交流后形成共识，老师板书：S1+S2=S3. (2)、再在坐标纸上画几个格点直角三角形，分别以三角形的各边为正方形的一边，向形外作正方形，如课本第50页图182，图183，观察图形，并填写下表：图形S1S2S3三者关系图18-1图18-2图18-3观察上表，你还能得到刚才的结论吗？ （3）、如下图，按上述规律，其中三个正方形的面积有怎样的关系？用它们的边长表示，是： 。2、创设问题情境（二）：S2S1S3ACBbac 做一做：请同学们按老师的要求来做。同桌之间用事先准备好的四个直角三角形与正方形拼成如下图1所示的两个不同的大正方形：bababcabbcccca 图1 观察图1中拼成的两个大正方形，你有什么发现？可以得到什么结论？ 3、探究解决问题（一）、学生根据图形可以发现：两个大正方形一样大。正方形的边长都是（a+b），所以两个大正方形的面积相等。教师继续引导学生：将图1中的两个大正方形中全等的图形拿掉，还剩下什么？这三个正方形的面积有什么关系？为什么？学生可以根据图形直接看出：两个小正方形的面积和等于较大的正方形面积。因为两个大正方形面积相等，拿掉部分的面积也相等，所以剩下部分的面积相等。即： 教师提出问题：通过上面的探究，你能发现直角三角形三边的长之间有怎样的关系吗？2、探究解决问题（二）：师生共识：直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方。如果直角三角形的两条直角边用a、b表示，斜边用c表示，则上述结论可表示为：3、创设问题情境（三）：对于上述结论，要使人信服，必须加以证明。如何证明上述结论呢？4、探究解决问题（三）： 我们再回顾一下刚才的操作过程，想一想，上述结论是怎么样得到的？学生马上反应出，是通过比较面积得到的。教师告诉学生这是数学证题中常用的方法：面积法、比较法。 下面，我们就用面积计算的方法来证明这个结论。 已知：如图1，在RtABC中，C=90，AB=c,BC=a，AC=b.求证：ACBbac 图1（1）（2）EFGD1B1C1babababcccHacA1证明：取4个与RtABC全等的直角三角形，把它们拼成如图1（2）所示的边长为a+b的正方形EFGH。从图中可见，A1B1=B1C1=C1D1=A1D1=c.因为B1A1E+A1B1E=90,而A1B1E=D1A1H，因此B1A1E+D1A1H=90, D1A1B1=90.同理：A1B1C1=B1C1D1=C1D1A1=90，所以四边形A1B1C1D1是边长为c的正方形。正方形EFGH和正方形A1B1C1D1的面积分别记作S正方形EFGH和S正方形A1B1C1D1，则：S正方形EFGH 4SABCS正方形A1B1C1D1 ,即： 化简，得： 教师提问：除了上述拼图方法可以证明勾股定理外，还有其它拼图方法吗？用你手中的直角三角形拼拼看！学生活动：认真思考，讨论、交流，拼凑图形，寻找证明勾股定理的方法。教师活动：教师适时加以点拨，并提供一些证明勾股定理的图形，如下图：cba师生共识：定理：直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方。BCAabc用字母可表示为 : 定理的变形式： 我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦。因此，我们称上述结论为勾股定理，国外称为毕达哥拉斯定理。5、创设问题情境（四）： 我们刚才学习了勾股定理，勾股定理有什么用呢？怎样用？请同学们相互交流、讨论。6、探究解决问题（四）： 学生通过讨论，可以总结如下： （1）、知道两条直角边可以求出斜边，应用公式； （2）、知道斜边和一条直角边，可以求另一条直角边，应用公式。 教师小结:勾股定理的作用就是知道直角三角形中任意两边就可以求出第三边。 （三）、例题解析，应用定理：补充例题：1、已知RtABC中，C=90. 若a = 5，b = 12，则c= ； 若c= 10，b = 8，则a = . 若a=2，c=6，则b= 。2、若一个直角三角形的三边长分别为3，4， x，则x . 教师活动：利用多媒体演示例题，要求学生根据勾股定理进行求解。学生活动：相互交流、讨论，并灵活运用勾股定理解题，注意第2题的讨论。3、一个5m长的梯子AB,斜靠在一竖直的墙AO上,这时AO的距离为4m,求OB的距离？如果梯子的顶端A沿墙下滑2m,那么梯子底端B也外移2m吗?OBDAC教师活动：利用多媒体演示例题并加以分析，引导学生运用勾股定理解决问题。学生活动：相互交流、讨论，并在教师的指导下完成解题过程如下：解：（1）、在RtAOB中，根据勾股定理，得：，即：. （2）、如果梯子的顶端A沿墙下滑2m，则：AC=2m，OC=OA-AC=4-2=2（m），CD=AB=5m。那么，在RtCOD中，根据勾股定理，得：。故：如果梯子的顶端A沿墙下滑2m,那么梯子底端B不会向外移2m。5米12米(x5)米4、如图，受台风影响，一棵树在离地面5米处断裂，树的顶部落在离树跟底部12米处，这棵树折断前有多高？ 教师活动：利用多媒体演示例题并加以分析，引导学生运用勾股定理及方程的思想解决问题。学生活动：相互交流、讨论，并在教师的指导下完成解题过程如下：解：设这棵树折断前有x米，如图，根据勾股定理得：。即：解这个方程，得：结合题意，不符合实际意义，应舍去，故：。答：这棵树折断前有18米。（四）、课堂练习，巩固提高：完成课本第53至第54页的练习第1、2两题及补充练习题（多媒体课件演示）。学生完成练习后，教师加以讲解，同伴之间相互订正。（五）、归纳小结，提高认识：采用提问式进行小结，提问问题如下：1、 本节课主要学习了什么内容？什么叫做勾股定理？2、 勾股定理的证明方法是什么？3、 应用勾股定理的前提条件是什么？4、 通过本节课的学习，你有什么收获？谈一谈你学习本节课的心得体会，并与同伴交流。 （六）、布置作业，及时反馈：完成课本第57页习题18.1的第1、2、3、4四题。18.1 勾股定理一、探究勾股定理： 三、证明勾股定理： 例4、 二、勾股定理： 四、应用勾股定理： 补充例题： 五、学生练习： 例3、