平行四边形的特征(1)【学习目标】1探索并掌握平行四边形的特征2灵活运用平行四边形的特征解决问题3平行四边形一般转化成三角形的问题来解决【基础知识概述】1平行四边形：(1)平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形(2)平行四边形的表示：平行四边形用符号“”表示平行四边形ABCD记作，读作平行四边形ABCD(3)平行四边形定义的作用：由定义知平行四边形的两组对边分别平行由定义可以得出只要四边形中两组对边分别平行，那么这个四边形是平行四边形2平行四边形的特征：(1)平行四边形的邻角互补，对角相等(2)平行四边形的对边平行且相等(3)平行四边形的对角线互相平分(4)平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心(5)若一条直线过平行四边形两对角线的交点，则这直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，且这条直线二等分平行四边形的面积注意：特征：都是通过连对角线把四边形问题转化成三角形问题来处理的，即通过平移或旋转，利用重合来证明的夹在两条平行线间的平行线段是指端点分别在两条平行线上的平行线段互相平分指两条线段有公共的中点3平行四边形特征的作用：可以用来证明线段相等、角相等及两直线平行等如图12-1-1，有如下结论：4两条平行线间的距离：(1)定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离(2)两平行线间的距离处处相等注意：距离是指垂线段的长度，是大于0的平行线的位置确定后，它们的距离是定值，不随垂线段的位置改变平行线间的距离处处相等，因此在作平行四边形的高时，可根据需要灵活选择位置5平行四边形的面积：(1)如图12-1-2，也就是 (a是平行四边形任何一边长，h必须是a边与其对边的距离)(2)同底(等底)同高(等高)的平行四边形面积相等如图12-1-2，有公共边BC，则注意：这里的底是相对而言的，也就是高所在的边，平行四边形任意一边都可以作底，底确定后，高也就确定了【例题精讲】例1 如图12-1-3，已知的对角线相交于点O，过O作直线交AB于E，交CD于F，可得OEOF为什么？分析：要得到OEOF，可先证得它们所在AEO与CFO(BEO与DFO)重合解：在中，ABCD，ODOB，12，34，将BOE绕点O旋转180度后与DOF重合OEOF注意：把线段与角归结为平行四边形的边，对角线或对角，利用平行四边形的特征证明例2 (1)在中，AB23，求各角的度数(2)已知的周长为28cm，ABBC34，求它的各边的长分析：(1)在平行四边形中，邻角是互补的，而对角是相等的，所以A与B必是邻角，其和为180，可据此列式求出角度(2)平行四边形的对边相等，所以周长为邻边之和的2倍，可以据此列式求出各边长解：(1)由于A、B是平行四边形的两个邻角，所以AB180又因为AB23，不妨可设A2k，B3k，那么2k3k180，可以解得k36，则AC72，BD108(2)由于在中，ABCD，BCAD所以ABBCCDAD28，即ABBC14由题意得ABBC34，因此可设AB3k，BC4k，那么有3k4k14，解得k2，则ABCD6cm，BCAD8cm例3 如图12-1-4，已知的周长为60 cm，对角线AC、BD相交于点O，AOB的周长比BOC的周长长8cm，求这个四边形各边长分析：由平行四边形对边相等知ABBC平行四边形周长的一半30cm，又由AOB的周长比BOC的周长长8 cm知ABBC8cm，由此两式，可得各边长解：四边形ABCD为平行四边形，ABCD，ADCB，AOCOABCDADCB60，AOABOB(OBBCOC)8，AB十BC30，ABBC8，ABCD19，BCAD11答：这个四边形各边长分别为19 cm，11 cm，19 cm，11 cm注意：平行四边形的邻边之和等于平行四边形周长的一半平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形周长之差等于邻边之差思考：如图12-1-4，如果AOB与AOD的周长之差为8，而ABAD32，那么的周长为多少？提示：周长为80设AB3x，则AD2x，依题意有3x2x8，x8，AB3x3824，AD2x2816周长2(2416)80例4 如图12-1-5，在中，B120，DEAB，垂足为E，DFBC，垂足为F求ADE，EDF，FDC的度数分析：由平行四边形对角相等、邻角互补得AC，AB180，再由垂直得到角为90即可解：在中，AC，ADBC，AB180A180B60C60DEAB，DFBC，ADEFDC90A906030注意：在平行四边形中求角的度数时，一般运用平行四边形的特征，即对角相等、邻角互补来进行求解【中考考点】会利用平行四边形证明角相等，线段相等及直线平行【命题方向】多以中档题型出现，填空、选择、计算、证明等各种形式都会涉及【常见错误分析】例7 如图12-1-7，中，AC和BD交于O，OEAD于E，OFBC于F，则OEOF为什么？错解：，OAOC，OEAD，OFBC，AOECOF又12，AOE旋转180后与COF重合，OEOF误区分析：错误出于AOECOF这一步骤，原因在于默认了E，O，F三点共线，而已知条件中并没有这个结论，其实E，O，F三点共线在证题过程中应该加以证明，否则就犯了推理没有根据，理由不充足的逻辑错误正解：解法一：，ADBC，34又OAOC，AEOCFO90，AOE旋转180后与COF重合，OEOF解法二：ADBC，OEADOEBC又OFBC，直线OE与OF重合，即E，O，F三点共线，12又OAOC，AEOCFO90，AOE旋转180后与COF重合，OEOF此命题可推广如下：已知中，AC和BD交于O，过点O作直线EF交AD于F，交BC于F，则OEOF求解(略)这个推广后的命题，是平行四边形中一个十分重要的基本命题，利用它的结果可以证明很多问题成立【学习方法指导】1学习平行四边形的特征时，按照对角、对边、对角线的顺序去理解，便于记忆和应用2本节主要内容是平行四边形的定义及特征，并且要重点理解两条平行线间的距离的概念【同步达纲练习】一、填空题1若一个平行四边形相邻的两内角之比为23，则此平行四边形四个内角的度数分别为_2在中，周长为28，两邻边之比为34，则各边长为_3在中，A30，AB7 cm，AD6 cm，则_4一个平行四边形的一边长是8，一条对角线长是6，则它的另一条对角线x的取值范围为_5中，周长为20cm，对角线AC交BD于点O，OAB比OBC的周长多4，则边AB_，BC_6平行四边形的边长等于5和7，这个平行四边形锐角的平分线把长边分成两条线段长各是_7已知等腰ABC的一腰AB9 cm，过底边上任一点P作两腰平行线分别交AB于M，交AC于N，则AN十PN_8平行四边形两邻边分别是4和6，其中一边上的高是3，则平行四边形的面积是_9平行四边形邻边长是4 cm和8cm，一边上的高是5 cm，则另一边上的高是_10如图12-1-8，中，E是AD的中点，BD与EC相交于F，若，则_11已知P为内一点，则_12已知的对角线相交于点O，它的周长为10 cm，BCO的周长比AOB的周长多2cm，则AB_二、解答题13已知，如图12-1-9，在ABC中，BD是ABC的平分线，DEBC交AB于E，EFAC交BC于F，则BEFC，为什么？14如图12-1-10，中，E，F是对角线BD上两点，且BEFD，连结AE，FC，则AEFC，试说明理由15如图12-1-11，中，对角线AC长为10 cm，CAB30，AB长为6 cm，求的面积16如图12-1-12，在等边ABC中，P为ABC内一点，PDAB，PEBC，PFAC，D，E，F分别在AC，AB和BC上，试说明PDPFPEAB17从平行四边形的一个锐角顶点作两条高，如果这两条高的夹角是135，求此平行四边形的各角的度数三、思考题18如图12-1-13，EF过对角线的交点O，交AD于E，交BC于F，若AB4，BC5，OE1.5，求四边形EFCD的周长19以平行四边形ABCD两邻边BC、CD为边向外作正BCP和正CDQ，则APQ为正三角形，请说明理由参考答案【同步达纲练习】一、172，108，72，10826，8，6，83410x2257cm，3 cm65，279 cm812或1891081150121.5cm二、13提示：由BED是等腰三角形得到BEED，由四边形DEFC是平行四边形得到EDFC即可14提示：通过ABE与DCF重合可以得出1516延长FP交AB于G，延长DP交BC于H，四边形AGPD，EBHD为平行四边形，PDAG，PHBE，GEP，PHF为等边三角形，PEEG，PHPFBE，PDPFPEAGGEEBAB1745，135，45，135三、18OEOF1.5，AECF，DEBF，EDCFBFFC5，CDAB4，四边形EFCD的周长为21.5541219提示：证明ABP、QDA、QCP三个三角形重合，可得出APAQPQ即可