张喜林制1.1.2 棱柱、棱锥和棱台的结构特征课标考纲解读状元学习方案一1. 了解多面体、棱柱、棱锥和棱台的定义及结构 特征2. 掌握棱柱、正棱锥、正棱台的性质以及它们之间 的关系.3. 了解平行六面体的概念，加深对平行六面体、直 平行六面体、长方体、正四棱柱、正方体这一系列的平行 六面体的定义及性质的认识，培养学生的逻辑思维能力 和空间想象能力.4. 通过了解几何体的特征，掌握各种截面的应用1. 正瑙理解棱柱的概念，由棱柱的性质可得：棱柱 有两个面平行，其余各面都是平行四边形，但反之不一 定成立.2. 用平行于棱锥底面的平面截棱锥,得到的几何体 为棱台，从而棱台的各条侧棱延长后必交于一点3. 掌握长方体的一系列性质.考点知识清单有关几何体的概念1由若干个平面多边形所围成的几何体叫做，其中国成多面体的各个多边形叫做 ，相邻两个面的公共边叫做；棱与棱的公共点叫彳；连接不在同一个面上的两个顶点的线段叫做2有两个面互相平行，其余的面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边是互相平行的，由这些面所围 成的几何体叫做.两个平行的平面叫做，其余各面叫做棱柱的，两侧面的公共边叫做棱柱的.棱柱两底面之间的距离叫做棱柱的;侧棱与底面的棱柱叫做斜棱柱；侧棱与底面的棱柱叫做;底面是的棱柱叫做正棱柱.3. 底面是的棱柱叫做平行六面体；侧棱与底面的平行六面体叫做直平行六面体；底面 的平行六面体叫做长方体；棱长都 的长方体叫做正方体.4有一个面是多边形，其余各面都是的三角形，由这些面所围成的几何体叫做.棱锥中有公共顶点的三角形叫做棱锥的；各侧面的叫做棱锥的相邻两侧面的公共边叫做棱锥的一；多边形叫做棱锥的；顶点到底面的距离叫做棱锥的.如果棱锥的底面是，它的顶点又在过底面中心的上，则这个棱锥叫做.正棱锥各侧面都 的等腰三角形，这些等腰三角形底边上的高叫做正棱锥的，设正棱锥的高为h,斜高为h/，则斜高在底面上的射影为.5.棱锥被平行于底面的平面所截，截面与底面阃的部分叫做.截面与原棱锥的底面均为棱台的 ；其余各面叫做棱台的-相邻两侧面的公共边叫做棱台的；两底面间的距离叫做棱台的 .由正棱锥被截得的棱台叫做正棱台各侧面都是 ，这些梯形的高叫做棱台的.要点核心解读1棱柱(1) 棱柱概念的理解， 注意“有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体”不一定是棱柱，如图1-1-2 -1 所示 的几何体有两个面平行，其余各面都是平行四边形，但它不满足“每相邻两个侧面的公共边互相平行”， 所以它不是棱柱(2) 棱柱的性质 侧棱都相等，侧面都是平行四边形， 两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形(3) 棱柱的分类， 按底面多边形的边数分类：三棱柱，四棱柱，n棱柱， 按侧棱与底面的位置关系分类：斜棱柱棱柱|直棱柱(侧棱！正棱柱(底面为正多边形的直棱柱)垂直于底面)(其他直棱柱(4) 特殊的四棱柱 一些特殊的四棱柱是本节的研究内容之一，为了便于理解与掌握，我们把四棱柱与平行六面体及特殊的平行六面体之间的关系归纳如下：底面是矩形2棱锥(1) 棱锥概念的理解， 棱锥的侧面必须是共顶点的三角形(2) 棱锥的截面性质， 平行于底面的截面与底面相似，面积比等于截得的棱锥的高与已知棱锥的高的平方比(3) 正棱锥的性质， 侧棱相等，侧面是全等的等腰三角形，斜高相等；正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影构成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面内的射影也构成一个直角三角形；某侧面的斜高、侧棱及底面 边长的一半也构成一个直角三角形；侧棱在底面内的射影和斜高在底面内的射影及底面边长的一半也构成 一个直角三角形3.棱台(1) 棱台概念的理解， 底面水平放置的棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫做棱台，从而棱台的侧棱延长后必交于一点(2) 正棱台的性质侧面是全等的等腰梯形，斜高相等；正棱台的高、斜高和两底面的边心距构成一个直角梯形；正棱台 的高、侧棱和两底面外接圆的半径构成一个直角梯形；正棱台的斜高：侧棱和两底面边长的一半也构成一 个直角梯形4长方体的性质长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和，即:l2二a2 + b2 + c2 (其中a、b、 c 是长方体一个顶点上三条棱的长， L 是其一条对角线的长)5关于截面(1) 对角面：过不在同一个面上两顶点的连线叫对角线，过对角线的截面叫对角面(2) 平行于底面的截面：平行于底面的截面与底面多边形相似或全等(3) 中截面：过高的中点且垂直于高的截面为中截面(4)直截面：垂直于侧棱的截面为直截面典例分类剖析考点 1棱柱的概念命题规律(1) 棱柱的概念及性质(2) 正棱柱的概念及性质(3) 平行六面体、长方体、正方体的概念及性质例 1下列命题中正确的是( )A. 四棱柱是平行六面体B. 直平行六面体是长方体C. 底面是矩形的四棱柱是长方体D. 六个面都是矩形的六面体是长方体试解.(做后再看答案，发挥母题功能)解析 从四棱柱、平行六面体、直平行六面体、长方体的定义中可以得到正确答案. 四棱柱的底面可以为任意四边形，而平行六面体的底面一定是平行四边形，故A不正确.直平行六面体的底面可为平行四边形，而长方体则要求直平行六面体的底面为矩形，故B不正确，底面是矩形的四棱柱可能是斜四棱柱，长方体则要求是直四棱柱，故C不正确， 六个面都是矩形的六面体，以任意两个相对的面为底面，都是一个直平行六面体，符合长方体的定义， 故 D 正确.答案 D点拨 判断棱柱的概念，主要从两个角度入手：一是底面；二是侧棱.1. 下列关于四棱柱的三个命题：若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则 该四棱柱为直四棱柱；若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱；其中正确命题的序号是 考点 2 棱椎与棱台的概念 命题规律(1) 棱锥和棱台的概念.(2) 正棱锥和正棱台的概念及性质.例 2下列三个命题，其中正确的个数是().用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；两个底面平行且相似，其余各面都是 梯形的多面体是棱台；有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台.A. O 个 B.l 个C.2 个D.3 个试解.(做后再看答案，发挥母题功能)解析中的平面不一定平行于底面，故错.可用反例图1-1-2 -2去检验，可得不对， 答案 A点拨 刚开始学习立体几何时，要学会观察、分析，并记住一些特殊的物体或图形，便于解答问题.2. 下列说法中正确的有().有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱.有一个面是多边形，其余各 面都是三角形的几何体一定是棱锥，有两个面互相平行，其余各面都是梯形的几何体一定是棱台.A. O个 B.l个 C.2个 D.3个考点 3 正棱锥和正棱台中元素之闻的关系命题规律(1)正棱锥高、斜高、底面边长、侧棱长之间的关系.3 / 12(2)正棱台的高、斜高、上下底面边长之间的关系例3已知正三棱台上、下底面边长和侧棱的长分别为a、b、c,求这个棱台的高和斜高.答案如图1-1-2 -3.设正三棱台两底面的中心分别为O /和OA/B./和AB.的中点分别为E/和E 连 接 O/O、E/E、O/B/、OB. O/E/、OE、O/A/、OA,则四边形E/EBB/、OEE/O 都是直角梯形，在,.3.3正三角形ABC中，AB二b,则OA二牙b, OE二才b.在正三角形A/B/ C/中A/B/二a,则厂)人 _ v3 门刀 _它3O/ A/ 3 a, O/ E/ 6 a.B 1 -1 -2-3在直角梯形E/EBB/中E / E B / B 2 (EB E / B /)4c 2 一 (b 一 a)2.在直角梯形O/E/EO中.O/O pE/E2 一 (EO - E/O/)2(b a)2a)2-C2 (b 一 a)2点拨在解答有关正棱台的问题时，正棱台两底面中心连线、相应边心距和斜高可构成一个直角梯形； 两底面中心连线、侧棱和两底面相应的外接圆半径可构成一个直角梯形.在正棱台中构造直角三角形求解 是关键.3正四棱锥的高为空3,侧棱长为：7,则侧面上斜高的值为多少？考点4有关截面的问题命题规律(1) -般棱锥截面的性质.(2) 中截面的性质.(3) 将棱台的截面转化为棱锥的截面来处理.例 4把一个棱台的高分为三等分，过各等分点作平行于底面的截面，已知棱台的两个底面面积分别4 /12是P和Q(QP),求两个截面的面积.答案将棱台补成棱锥，设棱锥顶点为S, S到棱台上底面的距离为x,棱台的高为3h,截面面积分别为 M N,(x + h)2 QX2，P(x + 3h)2X 2=i+h吗=i+3h,解得PX PX1.M(4P + 4、：PQ + Q) 同理可得9N 二 9(p + 4、：PQ + 4Q) 点拨】在解决棱台中的比例问题时,切记棱台是由棱锥截得的,所以常常将其补成棱锥来研究,即还台于锥”的思想方法.这是一种较重要的转化思想.4. 已知三棱台ABC - A/B/C/的上、下两底均为正三角形，边长分别为3和6,平行于底的截面将 侧棱分为 1:2 两部分,求截面的面积.考点 5 多面体的晨开圈的应用命题规律(1) 利用多面体的展开图将空间问题转化为平面问题(2) 多面体表面上两点间最短距离的求法.例 5 长方体 ABCD - A B C D (如图 1-1-2 -4 所示)的宽、长、高分别为 3、 4、 5.现有一甲 1111壳虫从A出发沿长方体表面爬彳亍到C1来获取食物，试画出它的最短爬行路线，并求其路程的最小值.解析本题实际上是考查平面上两点间最短线段距离的求法，把长方体中含A、Ci的面展开答案如图 1-1-2 -5 所示,对(1)(2)(3)三种展开图利用勾股定理可得 AC1 的长分别为/90、74、80,由此可见是最短路线，由相似比可得BE =157，所以甲壳虫可以先在面ABBAi内由A到E,再在面BCCiBi内由E到Ci其最短路程为图_ _2 _5点拨 (1)立体图形平面化是解决空间问题最常用的思想方法.(2)在解决问题的过程中要注意平面图形与原立体图形的关系，确定常量，以便在求解中充分运用5如图1-1-2 -6所示，在正三棱柱ABC - AiBiCi 中, AB =3Mi = 4 M为AAi的中点，P是BC上 一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC到M的最短路线长为边9设这条最短路线与CC的交点为N,求:1 1(1) 该三棱柱的侧面展开图的对角线长；(2) PC和NC的长，B图 1 _1_2 _60自主评你反馈。考点知识清单1多面体多面体的面多面体的棱多面体的顶点对角线2.棱柱底面侧面侧棱高不垂直 垂直直棱柱正多边形