第三讲解答题的解法1(2009陕西理)某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用表示，据统计，随机变量的概率分布如下表：0123P0.10.32aa(1)求a的值和的数学期望；(2)假设一月份与二月份被消费投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率解：(1)由概率分布的性质有0.10.32aa1，解得a0.2.的概率分布为0123P0.10.30.40.2E00.110.320.430.21.7.(2)设事件A表示“两个月内共被投诉2次；事件A1表示“两个月内有一个月被投诉2次，另一个月被投诉0次”；事件A2表示“两个月均被投诉1次”则由事件的独立性得P(A1)CP(2)P(0)20.40.10.08，P(A2)P(1)20.320.09.P(A)P(A1)P(A2)0.080.090.17.故该企业在这两个同月共被消费者投诉2次的概率为0.17.2已知向量a(4cos B，cos 2B2cos B)，b，f(B)ab.(1)若f(B)2，且0B2恒成立，求实数m的取值范围解：(1)f(B)ab4cos Bsin2cos 2B2cos B2cos Bcos 2B2cos B2cos Bcoscos 2B2cos Bsin Bcos 2Bsin 2Bcos 2B2sinf(B)22sin2即sin1B(0，)2B2BB.(2)由(1)知f(B)2sin(2B)，又0B，2B，sin1，2恒成立，mf(B)2恒成立m0，g(x)(a2a1)ex2，问是否存在1，22，2，使得|f(1)g(2)|1成立？若存在，求a的取值范围；若不存在，说明理由解：(1)f(x)x2(a2)xabex由f(0)0，得baf(x)(x2axa)exf(x)x2(a2)xexx(xa2)ex令f(x)0，得x10，x2a2由于x0是f(x)极值点，故x1x2，即a2当a2时，x12时，x1x2 ，故f(x)的单调增区间是(，a2和0，)，单调减区间是(a2,0)(2)当a0时，a22，f(x)在2,0上单调递减，在0,2上单调递增，因此f(x)在2,2上的值域为f(0)，maxf(2)，f(2)a，(4a)e2而g(x)(a2a1)ex2ex2在2,2上单调递减，所以值域是(a2a1)e4，(a2a1)因为在2,2上，f(x)ming(x)maxa(a2a1)(a1)20所以，a只须满足解得0b0)右焦点F且斜率为1的直线交椭圆C于A、B两点，N为弦AB的中点又函数yasin x3bcos x图象的一条对称轴的方程是x.(1)求椭圆C的离心率e与直线ON的斜率；(2)对于椭圆C上任意一点M，试证：总存在角(R)使等式cos sin 成立解：(1)因为函数yasin x3bcos x图象的一条对称轴的方程是x，所以对任意的实数x都有ff，取x，得f(0)f，整理得ab.于是椭圆C的离心率e.由ab，知椭圆C的方程可化为x23y23b2，又椭圆C的右焦点F为(b,0)直线AB的方程为yxb，把代入展开整理，得4x26bx3b20，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦AB的中点N(x0，y0)，则x1，x2是方程的两个不等的实数根，由韦达定理，得x1x2b，x1x2b2，所以x0b，y0x0bb.于是直线ON的斜率kON.(2) 与是平面内的两个不共线的向量，由平面向量基本定理，对于这一平面内的向量，有且只有一对实数，使得等式成立，设M(x，y)，由(1)中各点的坐标可得(x，y)(x1，y1)(x2，y2)，xx1x2，yy1y2.又M在椭圆C上，代入式，得(x1x2)23(y1y2)23b2，展开整理，得2(x3y)2(x3y)2(x1x23y1y2)3b2，又x1x23y1y2x1x23(x1b)(x2b)4x1x23b(x1x2)6b23b29b26b20.A，B两点在椭圆上，故有x3y3b2，x3y3b2，代入式化简，得221.由同角三角函数关系知道总存在角(R)使等式成立，即cos sin 成立综上所述，对于椭圆C上的任意一点M，总存在角(R)使等式cos sin 恒成立