奥美高中2018级高一数学培优讲义不等式恒成立问题一.不等式恒成立问题的处理方法1.利用根的判别式设f(x)ax2+bx+c(a,0)(1) f(x)0在xeR上恒成立oa0且A0；(2) f(x)0在xeR上恒成立oa0且A0.例1对于任意实数x,不等式(a-2)x2-2(a-2)x-4A在区间D上恒成立o在区间D上f(x)Amin(注：若f(x)的最小值不存在，则f(x)0恒成立of(x)的下界大于0)(2) 若不等式f(x)B在区间D上恒成立o在区间D上f(x)Bmax(注：若f(x)的最大值不存在,则f(x)a恒成立，求实数a的取值范围.例3.R上的函数f(x)既是奇函数，又是减函数，且当e“0,J时，有f(os2+2asin)+f(-2a-2)0恒成立，求实数a的取值范围.3. 分离参数法(1) 将参数与变量分离，即化为g(-)f(x)(或g(-)f(x)恒成立的形式;(2) 求f(x)在xeD上的最大(或最小)值；(3) 解不等式g(-)f(x)(或g(-)f(x)，得-的取值范围.maxmin例4.当x(1,2)时，不等式x2,ax,40恒成立，求实数a的取值范围.4. 主参换位法在不等式的恒成立问题中，有一类题型是题中的参数如a、m、k等的范围是已知的，而题要求的反而是变量x的范围这类题型中，由于已知范围的变量是以前我们所接触的参数，因而题中的函数结构也就发生了改变，此时函数是以参数为自变量的函数.一般来说，我们在观察这类恒成立问题时，哪个变量的范围是已知的，哪个就是该函数的自变量.例6.若不等式4x-a-2x,20对于a(-3恒成立，求实数x的取值范围.例7.对于满足52的所有实数a,求使不等式x2,ax,12a,x恒成立的x的取值范围.若所给不等式进行合理的变形化为f(x)g(x)(或f(x)g(x)后，能非常容易地画出不等号两边函数的图象，则可以通过画图直接判断出结果.例&若对任意xR,不等式Ixlax恒成立，贝y实数a的取值范围是.例9当xG,2)时，不等式(x-10，若fx)A成立，则等价于在区间D上f(x)A；若在区间D上存在实数x使不等式f(x)B成立，则等价于在区间D上的f(防min例11.已知不等式|x+3+|x-1|a2-3a在实数集R上的解集不是空集,则实数a的取值范围是.例12存在实数xw1,2，使得不等式ax2+a-2A在区间D上恰成立，则等价于不等式f(x)A的解集为D；若不等式f(x)B在区间D上恰成立，则等价于不等式fG)B的解集为D.xI-1x0的解集为例14.已知f(x)=+2x+a,当xw1,+“)时，f(x)的值域是b,+“),试求实数a的值.x思考题1已知fG),g6)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且f(x)+g6)=；错误!V2丿未找到引用源。若存在xwl,11，使得等式af(x)+g(2x)=0成立，求实数a的取值范围.oI2oo思考题2.已知f(x)是定义在2,2上的奇函数，当xw(0,2时，fG)2x1,函数g6)x22x+a.(1) 若对于任意xeI2,2，存在xeI2,2，使得f(x)=g(jc)，求实数a的取值范围;1212(2) 若对于任意xe12,2，存在xe12,2，使得f(x)=g(x)，求实数a的取值范围;2112(3) 若存在x,xe12,2，使得f(x)=gG)，求实数a的取值范围；1212(4) 若对任意x,xe(x)，求实数a的取值范围；1212(5) 若存在x,xe12,2,恒有f(x)gG)，求实数a的取值范围；1212(6) 若对任意xe12,2,存在xe12,2，恒有f(x)gG)，求实数a的取值范围；1212(7) 若对任意xe12,2,存在xe12,2,恒有fG)gG)，求实数a的取值范围.2112思考题3.已知函数f(x)=2口g(x)=a1.(1)若对任意珥,e-h2,恒有fG-)g),求实数a的取值范围;(2)若存在珥,柑eL1,2,恒有fq)gW),求实数a的取值范围;若对任意x-e-,2,存在x2e-,2,恒有f伸g),求实数a的取值范围;若对任意Xe11,2,存在xe11,2,恒有fG)gG)，求实数a的取值范围.2112任意与存在在考题中我们经常见到这么一类动态的函数、方程或不等式问题：对区间内任意自变量，若命题成立，求参数取值范围；或在区间内存在一个自变量或两个自变量，使命题成立，求参数范围等等。对这类涉及多变量的问题，由于其问题自身的抽象性和隐蔽性，我们将其分为以下几个类型：(1) 任意型：对任意的xD，都有f(JC)m，则f6)m；min对任意的XD,都有f(x)m,则f(x)m；max(2) 存在型：若存在xD，使得f(x,m，则f(x)m；max若存在XD，使得f(x,m，则f(x,m；min(3) “任意=存在”型：对任意的xA，存在xB，使得f(x)=g(x),则f(x)的值域1212是g(x)值域的子集，即f(A)匸g(B)；(4) “存在=存在”型：若存在xA，存在xB，使得f(x)=g(x)，则f(x,的值域是g(x,1212的值域有非空交集，即f匕)g(B)H0；(5) “任意任意”型：对任意的xA，任意的xB，使得f6,gC),则1212f(x,g(x)，则maxmin1212f(x)g(x,；minmax(6) “任意6)存在”型：对任意的xA，存在xB，使得f(x,g(x),则1212f(x,g(x),则maxmax1212f(x)g(x,；minmin(7) “存在存在”型：存在xA，存在xB，使得f(x)g(x)，则f(x,g(x)，则f(x,g(x,；1212maxmin#