波动方程的应用：海洋中的声传播理论潘宇航 14010006025杨诚诚 14010006035波动方程或称波方程(wave equations)由麦克斯韦方程组导出的、描述电磁场波动特 征的一组微分方程，是一种重要的偏微分方程，主要描述自然界中的各种的波动现象，包括 横波和纵波，例如声波、光波和水波。波动方程抽象自声学，电磁学，和流体力学等领域。本篇论文将从声传播理论出发来了解波动方程在海洋科学中的应用。首先利用一幅图来介绍声场常用分析方法。A：幅度函数Zr简正波方程格林甲；抛物线方程P；相位函数函数R；贝塞尔方程P：贝塞尔方程汉克尔函数汉克尔函数波动理论(简正波方法)是研究声信号的振幅和相位在声场中的变化，它适用低频，数 学上复杂、物理意义不直观的声场分析方法。在封闭空间或半关闭空间，反射波的互相干涉 要形成一系列的固有振动，称之为简正波。简正方式理论是引用量子力学中本征值的概念并 加以发展而形成的。本篇论文将从介绍波动方程和两种基础生场中的简正波两部分来讨论。1波动方程1.1在理想海水介质中，小振幅波的运动方程、连续性方程和状态方程：1.+ pV -5 = 0dt dt2引入新变量:1 V2p 3(%)1.3考虑简谐波，则有:d2/dt2=-CD1V 标 + /C2 ( jc , j/,牙= 0K = k21 V2p 3(Vp2 P 4 p备注：9不是声场势函数，K不是波数，且均为三维空间函数。1.4在海水中，与声速相比密度变化很小，将其视为常数，则有:K = k = a)/c(x ? _y 3 z)V+ 尸(x y, zp = 0p + k2x y 9zp = 0大如果介质有外力作用，例如有声源情况，则有：Vp + KG，*,zN = JV标+ 好(工，y, Z)p = YjX VPV2p + i2(x ? j , z)p = V -/z1.5定解条件定解条件就是满足物理问题的具体条件1.5.1边界条件边界条件是物理量在介质边界上必须满足的条件 1.5.1.1绝对软边界条件假定声压为零为绝对软边界条件，可设田布.王口 z -t(x J)界面方程：界面声压：此时此条件为第一类齐次边界条件, 一一一一 一 3,如果已知边界面上的压力分布，则有：此条件为第一类非齐次边界条件1.5.1.2绝对硬边界条件假定法向质点振速为零为绝对硬边界条件此时界面方程：二_血E)(E 广;*+ *%+吨=o界面声压：y此为第二类齐次边界条件/ . q dr? drj u -虬 + u-u如果已知边界面上的质点振速分布，则有：此为第二类非齐次边界条件1.5.1.3混合边界条件此时条件为压力和振速线性组合 + 知J)形式如此式：打 s若a为常数，则为第三类边界条件若f (s)=0，则为阻抗边界条件：匕1.5.1.4边界上密度或声速有限间断边界上压力和法向质点振速连续，可表示如下式:若压力不连续，质量加速度趋于无穷；若法向振速不连续，边界上介质“真空”或“聚集” 1.5.2辐射条件无穷远处没有声源存在时，其声场应具有扩散波的性质。1.5.2.1平面波情况华土冲=0 vx1.5.2.2柱面波情况-0r1.5.2.3球面波情况-0*这种条件也称之为索末菲尔德(Sommerfeld)条件。1.5.3奇性条件对于声源辐射的球面波，在声源处存在奇异点，即尸#,不满足波动方程；如果引入狄拉克函数，它满足非齐次波动方程根据狄拉克函数的定义，J(M =1F =。包含在体积内0F = 0在体积以内下列将证明非齐次波动方程正确性证：5、比计时虫右足简偕球面波有：fr寸冲+以冲-wm体积积分后为：利用高斯定理：ridSFdV =J Vp ndS I A:7 j pdV = 4湖?聂-JT-JeX-e dV= E证明左端=右端，证毕。1.5.4初始条件当求远离初始时刻的稳态解，可不考虑初始条件。2.波动声学2.1、硬底均匀浅海声场硬底均匀浅海声场的波导模型为上层为均匀水层，下层为硬质均匀海底，海面和海底 均平整。C r割。强 *可2.1.1简正波由于问题圆柱对称性，则水层中声场满足波动方程:1 d （ dp 仞 p 1人 J- 一）r 一 + + k2p = -4kA8 t r r dr dr J dz2 oo在圆柱对称情况下，根据狄拉克函数定义可求得：* ”= _!_ 从认%）常数A与声源强度有关，不失一般性取A=1，则有:仞口 i ap a2p |2 A ( )+ + + k2p = 8 t 6 z 一 z) ar 2 r ar az2 o r。p(r , z)=Z R (rB 0今一Z (z) = A sinG z)+根据边界条件1：zn、自由海面：Z )=n硬质海底：r dz) 7由分离变量法可求得本征函数通解:0 z N时，水平波数变为虚数，简正波振幅随r作指数衰减。在远场，声场可表示成有限项：p (r , z)= -j 力片 sinz)sin气扑jn-：jn = 1、 n2.1.2. 2临界频率：临界频率是最高阶简正波传播频率C 1j 兀ck 2 J甘声源激发频率 N时fN =C -0波导中不存在第N阶及以上各阶简正波的传播。2.1.2.3截止频率：截止频率是简正波在波导中无衰减传播的最低临界频率f =;14H兀c =012H声源激发频率2Q)n = 1 匚 nr n 0 n4兀毛 *qzQe n=1 Y n相速：虚斜线沿r方向传播速度群速：波形包络传播速度2.1.4传播损失2.1.4.1传播损失假设单位距离处声压振幅为1，则远处传播损失为:-10lg 工二 Z Q 眼Q )z Q)e乂n-。m) n 主 mrW n m当声传播条件充分不均匀，简正波之间相位无关：TL = -10 lg 务 Z2Q 2Q)。r n 0 n对于硬质海底的浅海声场的传播损失：TL = -10lg 竺 sin2 J/。)sin2)假设声源和接收器适当远离海面和海底:sin 2 (k 2sin 2 (k z)在0和1之间随机取值j sin2xdx 牝 1/2TL = -10lg如果波导中简正波个数较多:。冬 9J七二 fi) A J (FI 就& yl -X2企 J2深度取平均后，传播损失为：TL = -10lg- = 10lg r + 10lg Hr兀此时声能被限制在层内，随距离r作柱面波衰减。2.1.4.2声波掠射角和声源位置2.1.4.2.1掠射角 掠射角变化在传播损失中：TL = 10lgr + lOlgg2中c此时分为两种情况，分别为硬质海底与非绝对硬质海底1）硬质海底：V =兀22）非绝对硬质海底：兀/2带入了掠射角变化在传播损失，可以得出非绝对硬质海底传播损失大于硬质海底的TL值。2.1.4.2.2声源位置声源位于海面附近，TL变大；声源位于海底附近，TL变小。2.2液态海底均匀浅海声场 波导模型（Pekeris模型一一分层介质模型）：液态海底没有切变波，其声速通常大于海水 声速，但对于高饱和海底沉积层会出现相反情况。2.2.1液态海底均匀浅海声场的简正波同硬质海底情况一样，可以求得液态海底均匀浅海声场底简正波为:品,z)=-j尤吃sin(nz)sin(kznz0)H2)(Q/)n=1. A2 sin(k z)sin(k z Je-卜n JQ r nznzn 0nk 2 =znr22kznI c1 J-Q 2 A： =7TL777ak H - sin (k H )cos(k H)-| ： I sin 2 (k H g (k H)znznznzn在液态下半空间中，振幅沿深度按指数规律衰减，频率越高，振幅衰减越快。高频声波 在界面发生全反射时，能量几乎全被反射会水层中，波的能量几乎被限制在层内传播。 2.2.2截止频率简正波临界频率和截止频率：r 1 n- fn =(?I c22.2.3传播损失2 H .1 -此时掠射角为：sin中n=1,2,=X：1 - C0S2 中=V1 -(c :- C J2传播损失为：TL = 10lgr + 10lg下