第十三讲 刚体的运动学与动力学问题一 竞赛内容提要 1 、刚体；2 、刚体的平动和转动；3 、刚体的角速度和角加速度；4 、刚体 的转动惯量和转动动能；5、质点、质点系和刚体的角动量；6、转动定理和角动量定理；7、 角动量守恒定律。二 竞赛扩充的内容1、刚体：在外力的作用下不计形变的物体叫刚体。刚体的基本运动包括刚体的平动和刚体绕定 轴的转动，刚体的任何复杂运动均可由这两种基本运动组合而成。2、刚体的平动；刚体的平动指刚体内任一直线在运动中始终保持平行，刚体上任意两点运动的 位移、速度和加速度始终相同。3、刚体绕定轴的转动；刚体绕定轴的转动指刚体绕某一固定轴的转动，刚体上各点都在与转轴垂直的平面内做圆周运动，各点做圆周运动的角位移、角速度3和角加速度B相同(可与运动 lim竺lim如学的S、V、a进行类比)。且有：3 = At0 At ； P = At0 At。当B为常量时，刚体做匀加 速转动，类似于匀加速运动，此时有：3 =3 0+P t;0 =0 0+3 0t+P t2/2;3 2 302=2p (0 0 0)。式中，0 0、3 0分别是初始时刻的角位移和角速度。对于绕定轴运动 的刚体上某点的运动情况，有：v=3 R， a邙R， an=3 2R=v2/R,式中，R是该点到轴的距 离，a、a分别是切向加速度和法向加速度。t n例1 有一车轮绕轮心以角速度3匀速转动，轮上有一小虫自轮心沿一根辐条向外以初速度V。、 加速度 a 作匀加速爬行，求小虫运动的轨迹方程。例2 一飞轮作定轴转动，其转过的角度8和时间t的关系式为：0 =at+bt2ct3，式中，a、b、c 都是恒量，试求飞轮角加速度的表示式及距转轴r处的切向加速度和法向加速度。例3如图所示，顶杆AB可在竖直槽K内滑动，其下端由凸轮K推动，凸轮 绕O轴以匀角速度3转动，在图示瞬间，OA=r，凸轮轮缘与A接触处， 法线n与OA之间的夹角为a，试求此瞬时顶杆OA的速度。例 4 人在电影屏幕上看到汽车向前行驶，车轮似乎并没有转动时，则汽车运 动的可能的最小速度是多少？已知电影每秒钟放映 24 个画面，车轮半径为 0.5m.例 5 在水平路面上匀速行驶的拖拉机前轮直径为 0.8m，后轮直径为1.25m，两轮的轴的距离为2m,如图所示，在 行驶过程中,从前轮边缘的最高点A处水平飞出一小石块， 0.2s后后轮边缘的最高点B处也水平飞出一小石块，这两 块石块先后落在地面上同一处，求拖拉机行驶时速度的大 小。例6如图所示，由两个圆球所组成的滚珠轴承内环半径为R2,外环半径为 叫，在两环之间分布的小球半径为r。外环以线速度V顺时针方向转动，而 内环则以线速度v2顺时针方向转动，试求小球中心在围绕圆环的中心顺时针 转动的线速度v和小球自转的角速度3。设小球与圆环间无滑动。例7 一木板从空中下落，某时刻，板上a、b两点速度相同，v =vb=v, a、b两点均位于板面上，abp同时还发现板上c点速度为2v，c点到a和b两点的距离等于a和b两点间的距离。问板上那些 点的速度等于3v?4、力矩 （1）对转动轴的力矩 如图，转动轴过 O 点并垂直于 纸面，过P点的力F对O轴的力矩M=Fr。其中，r为力臂Tr= p sin0，AM=Fsin0 p。即，F对轴O的力矩，等于F垂直于 OP连线的分力F与OP的积：M=Fp。当力的作用线不在垂直于轴的直线上时，可将力F分解为平行于轴的分量F 和垂直于轴的分量F丄，其中，F对物体绕轴的转动没有贡献，F丄就是F在垂 直于轴的平面上的投影，此时，F对轴的力矩可写成：M= F丄p sin0。(2)对参考点的力矩 如图，F对O点的力矩M=Fsin0 p。5、质点的角动量如右下图，质点m对 点O的角动量L=rxp=rpsin8 =mvrsin8 ,角动 量又叫做动量矩(与力矩类比)。同一质点对不同的参考点的角动量是 不同的。特别地，当p丄r时，角动量L=mvr。6、质点系(或刚体)的角动量即各质点角动量的总和，L=m.v.r.= (m.r.2) w =IW。其中，I是刚体的转动惯量(I的数值不 i i i i i要求会计算)。质点对轴的转动惯量为：I=mr2, r是转动半径。7、刚体的转动动能刚体的动能包括质心的平动动能(EK=mv2/2 )和相对质心的转动动能，其K中，转动动能的大小：Ek = m.v.2/2=1/2 (m.r.2) w 2= (1/2) Iw 2。k. . .8、刚体绕定轴转动的基本规律(1) 力矩M和角加速度B的关系 M=IB (类比于F=ma)； (2)合力矩做的功和刚体转动动能 的关系 W=FS=Fr8 =M0 = (1/2) Iw上2(1/2) Iw J.(与动能定理类比)。(2) 质点、质点系或刚体的角动量定理L=m.v.r.(若是质点则不用工符号)，AL/At=. . .L/t=X(F.+f.) r.,式中，F.表示第i个质点受到的外力，f.表示该质点受到的系统内力。内 . . . . .力矩为零，/L/t=YF.r=M外，即M 外 At=LtL0 (与动量定理类比)。角动量定理可写成分. .外外t 0量式。(3) 质点、质点系或刚体的角动量守恒定律当M 外=0时，L=恒量(与动量守恒类比)，即系外统的角动量守恒。其中，M 外=0有以下三种情况：(i)体系不受外力，即F=0 (合外力为零工合 外.力矩为零，如力偶矩的情况)；(.)所有外力都通过定点(这种外力叫有心力，如卫星所受的万m， l有引力)，尽管外力的矢量和不为零，但每个外力的力矩都为零；(.) 每个外力的力矩不为零，但外力矩的矢量和为零。例8、质量为m,长为1的均质细杆，绕着过杆的端点且与杆垂直的 轴以角速度w转动时，它的动能和相对端点的角动量的大小分别为Ek=Iw 2/2, L=Iw，其中，I=ml2/3，现将此杆从水平位置由静止释放，设此杆能绕着过A的固定光 滑细轴摆下，当摆角从0达e时，试求：(1)细杆转动的角速度w和角加速度b ； (2)固定光滑 细轴为杆提供的支持力。例9、质量为M,半径为R的均质圆盘，绕过圆心且与圆盘垂直的轴以角速 度w旋转时的角动量大小为L=Iw，其中，I=MR2/2，如图，细绳质量可忽略, 绳与圆盘间无相对滑动，滑轮与轴之间无摩擦，mm2，试求物体运动的加 速度。例 10 、在光滑的水平面上，两个质量分别为 m1 和 m2 的小球，用长为 l 的轻线连接，开始时， 线正好拉直，ml和m2的速度分别为V和v2（Vv2）,它们的方向相同，并垂直于连线，试求:系统相对质心的角动量为多大？（2）线中的张力为多大？例11、如图所示，在光滑水平面上，质量均为M的两小球用长 为1的轻杆相连，另一质量为m的小球以v0的速率向着与杆成 e角的方向运动，若（1）碰后m以v0/2的速率沿原路线反弹, 试求碰后轻杆系统绕其质心转动的角速度3。（2）若M=m,且e =45,小球m以某一速率v0与杆上一球发生弹性碰撞后，沿垂直于原速度 的方向运动，如图虚线箭头所示方向，求碰后小球的速度及轻杆绕其质心转动的角速度。例12、一质量m=1 .40x104kg的登陆飞船，在离月球表面高度h=100km处 绕月球做圆周运动，飞船采用如下登月方式：当飞船位于图中A点时，它 向外侧（即沿OA方向）短时间喷气，使飞船与月球相切地到达B点，且 OA丄OB，试求飞船到达月球表面时的速度。已知月球半径R=1700km，月 球表面的重力加速度为 g=1.62m/s2。例13、如图，一长为L,质量为m的均质棒被两根细线水平悬挂在天花板了上，某时刻，右边的线断了，问线断瞬间，左边线中的张力是多大？已知棒 绕其一端的转动惯量I=m12/3。m, L例 14、一颗卫星沿椭圆轨道绕地球运行，在近地点，卫星与地球中心的距离为地球半径的3 倍， 卫星的速度为在远地点时速度的 4 倍，求在远地点时卫星与地球中心的距离为地球半径的多少 倍。例15、两个质量均为m的小球，用长为l的绳子连接起来，放在一光滑的水平桌 面上，给其中一个小球以垂直于绳子方向的速度V。，如图所示，求此系统的运动 规律和绳中的张力大小。例16、小滑块A位于光滑的水平桌面上，小滑块B位于桌面上的光滑小槽 中，两滑块的质量都是m,并用长为1、不可伸长的、无弹性的轻绳相连， 如图所示，开始时，A、B间的距离为1/2, A、B间的连线与小槽垂直，今给滑块A 一冲击，使其获得平行于槽的速度v0,求滑块B开始运动时的速度。例17、如图所示，质量均为m的两小球系于轻弹簧的两端，并置于光滑水平桌面 上弹簧原长为a,劲度系数为k。今两球同时受冲力作用，各获得与连线垂直的等 值反向的初速度，若在以后运动过程中弹簧的最大长度b=2a,求两球的初速度v。例18、在半顶角为a的圆锥面内壁离锥顶h高处以一定初速度沿内壁水平射出 一质量为m的小球，设锥面内壁是光滑的。（1）为使小球在h处的水平面上做 匀速圆周运动，则初速v0为多少？（2）若初速V=2v0,求小球在运动过程中 的最大高度和最小高度。例19、（1）质量为m的人造地球卫星作半径为r0的圆轨道飞行，地球质量为M,试求卫星的总 机械能；（2）若卫星运动中受到微弱的磨擦阻力f （常量），则将缓慢地沿一螺旋轨道接近地球, 因f很小，轨道半径变化非常缓慢，每周的旋转都可近似处理成半径为r的圆轨道运动，但r将 逐周缩短，试求在r轨道上旋转一周，r的改变量/r及卫星动能已疋的改变量/Ek。KK例20、图中a为一固定放置的半径为R的均匀带电球体，O为其球心，已知取无限远处的电势为零时，球表面处的电势为U=1000V。在离球心O很远的 O点附近有一质子b,它以EK=2000eV的动能沿与O OK平行的方向射向a，以L表示b与O O线间的垂直距离。 要使质子b能够与带电球体a的表面相碰，试求L的最大 值。把质子换成电子，再求L的最大值。例 21、由火箭将一颗人造卫星送入离地面很近的轨道，进入轨道时，卫星的速度方向平行于地 面，其大小为在地面附近做圆运动的速度的3/2倍，试求该卫星在运行中与地球中心的最远距 离。例22,如图所示，在水平光滑平面上开有一个小孔，一条绳穿过小孔，其 / 气两端各系一质量为m的物体，桌上的物体则以v=32gI0/，2的速率做半亠径为r0 (即桌上部分的绳长)的匀速圆周运动，然后放手，求以后的运动 中桌上部分绳索的最大长度和最小长度。例23， 一块半径为R的水平轻质圆盘，可绕过其圆心O的竖直轴自由旋 转，在圆盘下面的边缘处等间隔地系有四个质量都为 m 的小球，如图所 示。开始时，圆盘静止，一辆质量也为m的玩具汽车从O出发，以恒定 的相对于盘的速率v0沿半径驶往盘边，并沿盘边行驶，试求：(1)当玩具汽车沿半径行驶时，圆盘的转动角速度* J (2)当玩具汽车 沿盘边行驶时，圆盘的转动角速度3 2。例 24，若上题中的竖直轴不经过圆心，而经过某一小球的位置处，玩具汽车从该轴处以恒定的 相对于圆盘的速率v0沿盘边行驶，试求：(1)当玩具汽车行驶到第二小球位置处(即行驶了半 圈)时，圆盘的转动角速度31；(2)当玩具汽车行驶到第三小球位置处(即行驶了3/4圈)时， 圆盘的转动角速度32； (3)当玩具汽车回倒转轴处时，圆盘的转动角速度33。例25，在一根长为3L的轻杆上打一个小孔，孔离一端的距离为L,再在杆的两 端及距另一端为L处各系一质量为M的小球，然后通过此孔将杆悬挂于一光滑的 水平细轴O上，如图所示。开始时，轻杆静止，一质量为m的小铅粒以v0