探求相离双圆的切线长存在定值关系的点的轨迹数学组 孟方明 图1O1O2 05年高考江苏卷试题第19 题如下：如图1，圆和圆的半径都等于1，过动点分别作圆、圆的切线、(、为切点)，使得试建立平面直角坐标系，并求动点的轨迹方程以的中点为原点，所在直线为轴建立直角坐标系，所得结果为(解答略)这表明切线长与的比值是定值时动点的轨迹是一个圆那么，如果切线长与的比值是一个一般性定值，其轨迹还是一个圆吗？如果与的和、差、积是一个定值，这时的轨迹又是什么呢？笔者在数学作图软件“几何画板”的帮助下，探究得到了以下一系列有趣的结论，现归纳总结如下，供同行参阅1 商为定值已知圆，圆，过动点分别作圆、圆的切线、(、为切点)，记，则当时，的轨迹是直线；当时，的轨迹是一个圆(本文中圆、圆、的含义相同，下略)分析：设、，则，平方整理得， 当时，式即，轨迹是直线，当时，式即，轨迹是一个圆2 和为定值若，则(1)当时，的轨迹是焦点在轴上的椭圆(或椭圆弧)；(2)当时，的轨迹是两条外公切线段；(3)当，的轨迹是焦点在轴上的双曲线弧；(4)当，的轨迹是两条内公切线段；(5)当，的轨迹是焦点在轴上的双曲线弧；(6)当，的轨迹是两个点；(7)当，这样的不存在分析：由，则，平方整理后得，易知，同理若由可推出， 即，对式平方，整理为（），(1)当时，式可化为（），它表示焦点在轴上的椭圆(或椭圆弧)，至于是否是一个完整的椭圆，取决于与的大小(2)当时，式即（），yxPO图2它表示圆和圆的两条与轴平行的外公切线段，如图2，(3)当时，式可化为（），它表示焦点在轴上的双曲线弧；(4)当时，式即（），它表示圆和圆的两条外公切线段，如图3，OxyO1O2图3(5)当时，式化为 （），若无（即）的限制，表示双曲线，且，故这里要考虑与的大小，令，解得，该不等式右半部分显然成立，只有当时，方程才表示焦点在轴的双曲线弧，而当时，则它退化成两个点和，当，方程不表示任何轨迹3 差为定值而当为定值（不妨讨论的情况）时，化简后得到方程（），与上面式为相同的方程式，仅范围不同，故此处只给出结论，分析留给读者自行完成若，则(1)当时，这样的不存在；(2)当时，的轨迹是点；(3)当时，的轨迹是焦点在轴上的椭圆弧；(4)当时，的轨迹是平行射线（与已知圆外切）；(5)当时，的轨迹是焦点在轴上的双曲线弧；(6)当时，的轨迹是射线（）（与已知圆内切）；(7)当时，的轨迹是焦点在轴上的一支双曲线（或双曲线弧）注：若令，则对于上述各种情况，只需将其图象作关于轴的对称变换，合并起来即为其轨迹4 积为定值由，则，平方整理为，其中 从而 Oxy图4(1)当时，点的轨迹为两个分离的封闭图形，如图4，(2)当时，点的轨迹为两个相连的封闭图形，我们可以称其为“倒8字型”，如图5，Oxy图5(3)当时，点的轨迹为一个封闭图形，我们可以称其为“花生型”，如图6，Oyx图6