第一章特殊平行四边形矩形的性质与判定(第2课时)【教学目标】1.知识与技能 （1）.经历矩形判定定理的探索过程，进一步发展合情推理能力. （2）.能够用综合法证明矩形的判定定理，进一步发展演绎推理能力. 2.过程与方法 在探究活动中，学会与人合作并能与他人交流思维的过程和探究结果。3.情感态度和价值观 体会探索与证明过程中所蕴含的抽象、推理等数学思想.【教学重点】 矩形的判定【教学难点】 矩形的判定及性质的综合应用 【教学方法】 合作、探究【课前准备】 多媒体课件【教学过程】一、 复习引入（1） 矩形的定义；（2）矩形的特征；（3）矩形的特殊性质； 提出问题引入新课：想一想我们可以怎样判定一个四边形是矩形？二、探究新知1.矩形的判定1：定义法（有一个角是直角的平行四边形叫做矩形）制作一个如图所示的平行四边形的活动框架. 在一个平行四边形活动框架上，用两根橡皮筋分别套在两个相对的顶点上，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边形的形状会发生什么变化？ 当 时，平行四边形为矩形。定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.几何语言：四边形ABCD是平行四边形且A=90 四边形ABCD是矩形2.矩形的判定2的探究：对角线相等的平行四边形是矩形活动内容1：工人师傅为了检验两组对边相等的四边形窗框是否成矩形，一种方法是量一量这个四边形的两条对角线长度，如果对角线长相等，则窗框一定是矩形，你知道为什么吗？处理方式：先由学生独立思考，尝试解答，再采取小组合作的方式，交流讨论，进而得到结论:对角线相等的平行四边形是矩形.活动内容2：通过思考、交流，我们可以发现，对角线相等的平行四边形是矩形，你能证明这个命题吗？处理方式：鼓励学生积极探索，大胆猜想，在此基础上再进行严格地证明.证明过程中，学生可能会有一定的困难，教师要及时予以指导和规范.此处可安排学生板演证明过程. 定理的证明：如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD是它的两条对角线，且AC=DB，证明： 四边形ABCD是矩形.分析:要证明ABCD是矩形,只要证明有一个角是直角即可. 证明： 四边形ABCD是平行四边形 AB=DC,AB/DC 又BC=CB,AC=DB ABCDCB ABC=DCB AB/DC ABC+DCB=180， ABC=DCB=90 平行四边形ABCD是矩形 几何语言：在ABCD中，AC=BD ABCD是矩形 3.矩形的判定3的探究：三个角是直角的四边形是矩形活动内容1：一同学用“边直角、边直角、边直角、边”这样四步，画出了一个四边形，她说这就是一个矩形，她的判断对吗？为什么？ 处理方式：学生独立完成作图后可与课本作法进行对比，通过思考作法的正确性，探索得到矩形的另一种判定方法：三个角是直角的四边形是矩形.并对这一判定方法加以证明. 已知:如图,在四边形ABCD中, A=B=C=90，求证:四边形ABCD是矩形. 分析:利用同旁内角互补,两直线平行来证明四边形是平行四边形,可使问题得证. 证明: A=B=C=90, A+B=180,B+C=180 ADBC,ABCD. 四边形ABCD是平行四边形. 四边形ABCD是矩形. 几何语言：在四边形ABCD中，A=B=C=90 ABCD是矩形 归纳：矩形的三个判定： 1.有一个角是直角的平行四边形是矩形. 2.对角线相等的平行四边形是矩形. 3.有三个角是直角的四边形是矩形. 三、例题讲解例 例1.判断题：（1）有一个角是直角的四边形是矩形。 （ ） （2）四个角都相等的四边形是矩形。 （ ） （3）对角线相等的四边形是矩形。 （ ） （4)对角线互相平分且相等的四边形是矩形 （ ） （5）两组对边分别平行，且对角线相等的四边形是矩形。 （） 例2.下列条件中,不能判定四边形ABCD为菱形的是（ C ） . ACBD ，AC与BD互相平分 . AB=BC=CD=DA . AB=BC，AD=CD，且AC BD . AB=CD，AD=BC，AC BD 解析：根据菱形的三个判定可得C是错误的. 例3、如图， ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，AB=5，AC=8，DB=6， 求证:四边形ABCD是菱形.证明: 四边形ABCD是平行四边形 OA=OC=4 OB=OD=3 又AB=5 AOB=90 ACBD 又 四边形ABCD是平行四边形 四边形ABCD是菱形. 四、巩固练习： 例1.如图所示，已知ABCD，下列条件：AC=BD，AB=AD，1=2，ABBC中，能说明ABCD是矩形的有_（填写序号）.解析：根据对角线相等的平行四边形是矩形；矩形的定义.答案： 例2.如图，在平行四边形ABCD中，M是AD边的中点，且MB=MC，求证：四边形ABCD是矩形.分析：要证明平行四边形ABCD是矩形，则只需验证有一个角是直角或对角线相等即可；根据题意可得AMBDMC，从而有A=D,再结合AB/CD，得到A=90，即得证.证明：四边形ABCD是平行四边形 AB/DC，AB=DC， A+D=180， M是AD的中点 AM=MD MB=MC AMBDMC(SSS) A=D A+D=180 A=90 平行四边形ABCD是矩形. 例3. 已知平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于O，AOB是等边三角形，AB = 4cm，求这个平行四边形的面积. 解：ABCD是平行四边形， AC = 2OA，BD = 2OB。 OA = OB， AC =BD， 平行四边形 ABCD是矩形。 在RtABC中， AB = 4cm，AC=2AO=8cm， BC=， .练习：ABCDO1.如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC=BD，则下列条件能判定四边形ABCD为矩形的是（B ）A.AB=CD B.OA=OC，OB=ODC.ACBD D.ABCD，AD=BC解：A、由AB=DC，AC=BD无法判断四边形ABCD是矩形故错误 B、OA=OC，OB=OD， 四边形ABCD是平行四边形， AC=BD， 四边形ABCD是矩形故正确 C、由ACBD，AC=BD无法判断四边形ABCD是矩形，故错误 D、由ABCD，AC=BD无法判断四边形ABCD是矩形，故错误2.如图，矩形ABCD中，AB=20cm，BC=4cm，点P从A 开始沿折线A-B-C-D以4cm/s的速度运动，点Q从C开始沿CD边以1cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达D时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t（s），当t= _5_ 时，四边形APQD也为矩形解：根据题意，当AP=DQ时，四边形APQD为矩形此时，4t=20-t，解得t=4（s）故答案是：43. 如图，在ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P为边BC上一动点，PEAB于E，PFAC于F，则EF的最小值为 _2.4_ 解：连接AP，在ABC中，AB=3，AC=4，BC=5， 即BAC=90又PEAB于E，PFAC于F，四边形AEPF是矩形，EF=AP，AP的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高，即2.4，EF的最小值为2.4.4.如图，在ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD为BC边上的高，过点A作AEBC，过点D作DEAC，AE与DE交于点E，AB与DE交于点F，连结BE（1）求证：四边形AEBD是矩形；（2）求四边形AEBD的面积分析（1）利用平行四边形的性质和矩形的判定定理推知平行四边形AEBD是矩形（2）在RtADC中，由勾股定理可以求得AD的长度，由等腰三角形的性质求得BD的长度，则矩形的面积=长宽=ADBD，即可得出结果（1）证明：AEBC，BEAC， 四边形AEDC是平行四边形 AE=CD 在ABC中，AB=AC，AD为BC边上的高， ADB=90，BD=CD BD=AE 四边形AEBD是矩形 （2）解：在RtADC中，ADB=90，AC=5，BD=CD=BC=3， AD= 四边形AEBD的面积=BDAD34=12五 拓展提高 (1)对角线相等的四边形是矩形吗?(等腰梯形) (2)需要添加什么条件才能使 对角线相等的四边形是矩形吗?归纳：对角线相等且互相平分的四边形是矩形 几何语言： AC=BD 且OA=OC OB=OD 四边形ABCD是矩形例：已知： 矩形ABCD的对角线AC、BD相交于O，E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO上的一点，且AE=BF=CG=DH。求证：四边形EFGH是矩形。证明： 四边形ABCD是矩形 AO=BO=CO=DO 又 AE=BF=CG=DH OE=OF=OG=OH 四边形EFGH是平行四边形 又EO+OG=FO+OH 即EG=FH 四边形EFGH是矩形六、课堂总结矩形的三个判定方法： 1.有一个角是直角的平行四边形是矩形. 2.对角线相等的平行四边形是矩形. 3.有三个角是直角的四边形是矩形.七、作业布置 1.习题