概率论与数理统计期末考试试题(A)专业、班级：姓名：学号：题号一一一二二二-三四五六七八九十十一十二总成绩得分、单项选择题(每题3分共18分)1 . D 2. A 3. B 4. A 5. A 6. B若事件A、B适合P(AB) =0,则以下说法正确的是().(A) A与B互斥(互不相容)；(B) P(A) =0 或 P(B) =0;(C) A与B同时出现是不可能事件；(1) (D) P(A) 0,则 P(B A) = 0.(2)设随机变量X其概率分布为X -0 1 2P0.2 0.3 0.1 0.4则 PX 01. P(B) 2. f(x)=,3e，3. -14. t(9)0x兰0(1)如果 P(A 0, P(B) 0, P(AB)二 P(A)，则 P(B A)二(2)设随机变量X的分布函数为F(x)QX,J(1+x)e，x0.则X的密度函数f (x)二，P(X 2)=服从分布(要求给出自由度)、(6 分)设 代 B 相互独立，P(A)=0.7, P(A B)=0.88，求 P(A B).解： 0.88=P(A B) =P(A) P(B) P(AB)= P(A) P(B) - P(A)P(B)(因为 代B相互独立).2分= 0.7 P(B) _0.7P(B)3 分贝U P(B)=0.6 .4 分P(A _ B) = P(A) _ P(AB) = P(A) _ P(A)P(B)= 0.7 -0.7 0.6 = 0.28 6 分四、（6分）某宾馆大楼有4部电梯，通过调查，知道在某时刻 T,各电梯在 运行的概率均为0.7，求在此时刻至少有1台电梯在运行的概率。解：用X表示时刻T运行的电梯数，则Xb(4, 0.7).2分所求概率PX _1 = 1-PX =04 分=1 -C0(O.7)(1 -0.7) 设总体X和Y相互独立,且都服从N(0J)，X1,X2, X9是来自总体X的X 十+ X n样本，丫1,丫2,丫9是来自总体丫的样本，则统计量 U二；：寸 Yj + +丫92=0.9919.6 分五、（6分）设随机变量X的概率密度为求随机变量丫=2X+1的概率密度。f(x)-Xe ,0,x _0其它解：因为y =2x 1是单调可导的，故可用公式法计算.1分当 X -0时，丫 一1由 y = 2x +1，得 x = -_1,2从而丫的密度函数为fY（y）二.2分4分f(口)丄2 2.5分y : 1yJ 2.6分六、(8分)已知随机变量X和Y的概率分布为X-101P111424Y01P1122而且 PXY =0 =1 .(1) 求随机变量X和Y的联合分布；(2) 判断X与Y是否相互独立？解：因为 PXY=0l = 1，所以 p1XY=0”.；=0224所以 X与Y不相互独立七、(8分)设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为412e43x4y), x 0,y0,f (x, y)= “、0,其他.求：(1) P(0乞X 1,Y 0=0x兰0八、（6 分） 一工厂生产的某种设备的寿命 X （以年计）服从参数为1的指数分4布。工厂规定，出售的设备在售出一年之内损坏可予以调换。 若工厂售出一台设 备盈利100元，调换一台设备厂方需花费300元，求工厂出售一台设备净盈利的 期望。解:1因为X e()4得心）=4e0.2分所以100 - 300“八1亠.1 .P(Y =100)= 1 才4dx = e 4X11 1 P Y - -200； -e 4dx =1 -e 40 X : 1.4分1EY =100 e1(-200) (1 - e 4)1= 300e： -200 : 33.64 (元).6分九、（8分）设随机变量X与丫的数学期望分别为-2和2，方差分别为1和4,而相关系数为-0.5，求E（2X -Y）, D（2X -Y）。解：已知 EX = -2, EY =2, DX =1, DY = 4, ：?X -0.5则 E(2X -Y) =2EX - EY =2 (-2) - 2 - -6.4 分D(2X -Y)二 D(2X) DY -2cov(2X,Y).5 分= 2DX DY -4cov(X,Y).6 分= 2DX DY _4 DX、DY xy=12 .8 分用丫表示出售一台设备的净盈利100X _1十、（7分）设供电站供应某地区1 000户居民用电，各户用电情况相互独立。已 知每户每日用电量（单位：度）服从0，20上的均匀分布，禾U用中心极限定 理求这1 000户居民每日用电量超过10 100度的概率。（所求概率用标准正 态分布函数：（x）的值表示）.解：用Xj表示第i户居民的用电量，贝U XjU0,200 202-102DXi20一0)J001232分1000则1000户居民的用电量为X = 7 Xi，由独立同分布中心极限定理i =1PX 10100 ；=1PX 乞 10100=1 -PX 1000X010100 1000X0I兰100 1000 IX31000 1003 J10100 1000X0:1_G()I100.1000 3.6分!一、（ 7分）设X1,X2,Xn是取自总体X的一组样本值，X的密度函数为f (x)二0 x ： 1, 其他，解:其中二0未知，求二的最大似然估计 最大似然函数为.2分nnaL(X1,XnJ)二二 f(Xj 二二1)Xii =1im=C1)1X1,Xnf 3 分In L(Xi,Xn, R = nln(r 1)二 In (%, ,xj0 ： x，Xn ： 1d In L n令In （x“，xn） = 0d -1于是，的最大似然估计：彳-1In In(洛，x) 4分 5分-.7分十二、（5分）某商店每天每百元投资的利润率 XN（,1）服从正态分布，均值为亠，长期以来方差c2稳定为1，现随机抽取的100天的利润，样本均值为x = 5，试求的置信水平 为95%的置信区间(305(100)= 1.99,x _ 解：因为匚已知，且 N（0,1） Qn-U :2依题恵 二二 0.05, u .二1 96, n 二 100,：=1,2则的置信水平为95%的置信区间为xU2、x U2 J即为4.801,5.199(3)设 兔磅，码是总体分布中参数日的无偏估计量，a。？ -+ 3碣,时，丁也二是的无偏估计量.