勾股定理教学案例一、教材分析本节课是九年制义务教育课程标准实验教科书（苏科版）八年级上册第二章第一节“勾股定理”的第一课时，在本节课以前，学生已经学习了有关三角形的一些知识，如三角形的三边不等关系，三角形全等的判定等。也学过不少利用图形面积来探求数式运算规律的例子，如探求乘法公式、单项式乘多项式法则、多项式乘多项式法则等。勾股定理揭示了直角三角形三边之间的一种美妙关系，将形与数密切联系起来，在数学的发展和现实世界中有着广泛的作用。本节是直角三角形相关知识的延续，同时也是学生认识无理数的基础，充分体现了数学知识承前启后的紧密相关性、连续性。此外，历史上勾股定理的发现反映了人类杰出的智慧，其中蕴涵着丰富的科学与人文价值。二、教学目标 1、让学生经历从数到形再由形到数的转化过程，经历探求三个正方形面积间的关系转化为三边数量关系的过程，经由特殊到一般的探索过程。并从过程中让学生体会数形结合思想，发展将未知转化为已知，由特殊推测一般的合情推理能力。2、让学生经历拼图实验、计算面积的过程，在过程中养成独立思考、合作交流的学习习惯；让各类型的学生在这些过程中发挥自己特长，通过解决问题增强自信心，激发学习数学的兴趣；通过老师的介绍，感受勾股定理的文化价值3、能说出勾股定理，并能用勾股定理解决简单问题三、教学重点勾股定理的探索过程四、教学难点将边不在格线上的图形转化为边在格线上的图形，以便于计算图形面积五、教学方法与教学手段采用探究发现式教学，提供适当的问题情境给学生自主探究交流的空间，引导学生有目的地探索六、教学过程（一）创设情境，激发兴趣师：观察下列图片，它们都与什么图形有关？CBA生：（齐答）直角三角形，正方形！师：这三幅图分别是一张希腊为纪念一个重要数学定理而发行的邮票、华罗庚教授建议向外太空发射与外星人联系的图案、2002年国际数学家大会会标弦图，它们都可以证明一个重要定理！大家想知道是哪个定理吗？生：想！师：好！下面老师和大家一起来探索这个定理！设计意图：通过欣赏图片，了解历史，介绍与勾股定理有关的背景知识，激发学生学习兴趣，自然引出本节课的课题。（二）用数学的眼光看问题（毕达哥拉斯的发现）师：相传两千多年前，古希腊著名的哲学家、数学家毕达哥拉斯去朋友家做客。在宴席上，其他的宾客都在尽情欢乐，只有毕达哥拉斯却看着朋友家的方砖地发起呆来。原来，朋友家的地是用一块块直角三角形形状的砖铺成的，黑白相间，非常美观大方。师：同学们，请你也来观察下图中的地面，看看能发现些什么？生1：由等腰直角三角形、正方形师：原来啊，毕达哥拉斯发现了地砖上的三个正方形存在某种关系，你发现了吗？探究活动1（2）你能找出图中三个正方形面积之间的关系吗？生2：两个红颜色的正方形的面积之和等于蓝颜色的正方形的面积。师：你能说说理由吗？生2：如果一个小的等腰直角三角形的面积为1，那么两个小正方形的面积和大正方形的面积都等于4设计意图：通过讲传说故事来进一步激发学生学习兴趣，使学生在不知不觉中进入学习的最佳状态，“问题是思维的起点”，通过层层设问，引导学生发现新知。（三）深入探究，交流归纳探究活动2ABCBAC问题1：设每个小正方形的面积为1，分别计算下列图形中正方形A、B、C的面积，它们之间都有上述关系吗？生3：在算出面积之后，肯定地说有SA+SB=Sc问题2：你能用等腰直角三角形的边长表示正方形的面积吗？由此猜想等腰直角三角形三边有怎样的关系？生4：我发现每个正方形的面积都等于直角三角形边长的平方，若一个等腰直角三角形的两条直角边为a，斜边为c，则有a2+a2=c2a2 +a2 =c2等腰直角三角形教师板书：师：在等腰直角三角形中，这个结论是成立的，那么这个结论对于个更一般的三角形是否成立呢？生：（不加思索）成立！师：比等腰直角三角形更一般的三角形是什么三角形？生5：等腰三角形、直角三角形生6：还有普通三角形师：好！我们先来研究等腰三角形！以等腰三角形三边为边长向外作正方形，三个正方形之间满足刚才的关系吗？ABCABCD生7：在网格中作出等腰三角形，并向外作正方形，很明显A、B、C三者之间没有任何关系！因此等腰三角形的三边没有特殊关系！师：很好！生8：其实不在网格，也可以说明！等腰ADB和等腰ACB有公共的底边AB，以AC、CB为边长的正方形的面积之和与以AD、BD为边长的正方形的面积之和不相等。所以等腰三角形的三边没有特殊关系！（学生报以热烈的掌声）师：很好，实践是检验真理的唯一标准，我们还可以借助多媒体来验证！（教师演示几何画板）借助几何画板直观演示，得出结论：一般的等腰三角形中三边不具有特殊的关系！当然普通三角形三边也不具有特殊的关系！师：下面我们来研究直角三角形探究活动3做一做：问题3：请求图中正方形A、B、C的面积，看看能得出什么结论？BAC师：在这里正方形A、B的面积很容易求出，正方形C的面积怎么求呢？生9：可以用这样的方法：用大正方形的面积减去四个小直角三角形的面积，面积等于25。ACCBAB CC生10：可以将其分割成四个全等的直角三角形和一个小正方形，面积等于25。生11：还可以将其分割拼成如图所示的图形，面积等于25。生12：还可以这样拼！ACCB AB CC师：他们的做法都是正确的，一个用了“补”的方法，一个用了“割”的方法。在这个图形中有SA+SB=SC问题4：下图中的正方形之间也有这个结论吗？生13：有！问题5：如果用a、b、c分别表示三个正方形的边长，三者之间的面积关系如何表示？由三个正方形所搭成的直角三角形三边存在怎样的关系？生14：在直角三角形中，两直角边a、b与斜边c有a2+b2=c2教师板书：a2 +b2 =c2直角三角形（直角边长为“整数”）设计意图：通过设计问题串，让探索过程由浅入深，循序渐进。经历观察、猜想、归纳这一数学学习过程，符合学生认知规律。探索面积证法的多样性，体现数学解决问题的灵活性，发展学生的合情推理能力和归纳概括能力。探究活动4问题6：假如直角三角形的边长为“小数”呢？这个结论还成立吗？在网格纸上画出直角边长分别为1.6个单位长度和2.4个单位长度的直角三角形，上面所猜想的数量关系还成立吗？说说你的理由。生15：这个可能要借助计算机了！（大家笑）生16：其实当直角边是“小数”的时候，可以转换成“整数”，可以细化网格，使网格的一个单位是两条直角边的“公约数”！师：你能跟大家讲讲你是怎么想到的吗？生16：因为两条直角边是整数3、4时，我量了它也不是实际长度，只不够取了它们的比值而已！而网格的单位长度是它们实际长度的“约数”。生17：对！刚才3、4、5是一个直角三角形的三边，那它们长度的2倍也应该能画出直角三角形！师：你们说的太好了！这可以我们后面要探索的问题！下面我用几何画板来演示给大家看看！刚才这个结论对任意的直角三角形都是成立的！（拖动点B，改变直角三角形ABC的各边长度，观察三个正方形的面积的关系）设计意图：通过上述两种探究活动，学生已初步探究出直角边为整数的直角三角形三边关系。设计让学生动手画直角边是小数的情形，将探究活动进一步深化，从而扩展到更一般的情况。使学生体会数学探究由特殊到一般，再到更一般过程。利用几何画板的高效性、动态性反映这一过程，让学生体会到更多的特殊情形，从而为归纳提供基础，这样归纳的结论更具有一般性，学生的印象也更深刻。acb板书：勾股定理（毕达哥拉斯定理）直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。a2+b2=c2a2+b2=c2（四）追溯历史，激发情感 师：我国是最早了角勾股定理的国家之一，早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”，它被记载于我国古代著名的数学著作周髀算经中。 商 高 周髀算经 毕达哥拉斯设计意图：介绍有关勾股定理的历史，使学生对中国乃至世界的数学史产生浓厚的兴趣，为下一节的验证打好基础。（五）实践应用，拓展提高1求下列图中表示边的未知数x、y、z的值。81144xyz6255761441692求出下列直角三角形中未知边的长度。8x171620x125x3有一个水池，水面是一边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？设计意图：由于学生对知识的理解程度有所差异，因此，习题的设置体现层次性。通过对勾股定理的基本应用，让学生知道1、已知直角三角形三边中的任意两边，可以求第三边。2、已知直角三角形三边中的一边及另两边的关系，可以求另两边。（六）回顾小结，整体感知通过本节课的学习，你有哪些收获与感悟！设计意图：学生通过对学习过程的小结，领会其中的数学思想方法；通过梳理所学内容，形成完整知识结构，培养归纳概括能力。（七）布置作业，巩固加深（1）课本第47页第2题。（2）在网页中你可以找到有关勾股定理的丰富的内容，勾股定理的证明方法已经有几百种，请你结合本节课的学习探索或从网上搜索证明勾股定理的其它方法。设计意图：针对学生认知的差异设计了有层次的作业题，既使学生巩固知识，形成技能，又使学有余力的学生获得最佳发展。教学反思：1本节课根据学生的认知结构采用“观察猜想实验归纳验证应用”的教学方法，这一流程体现了知识发生、形成和发展的过程，让学生体会到观察、猜想、归纳、验证的思想和数形结合的思想。从学生的原有认知出发，揭示这节课产生的根源，符合学生的认知心理。渗透从特殊到一般的数学思想。为学生提供参与数学活动的时间和空间，发挥学生的主体作用；培养学生的类比迁移能力及探索问题的能力，使学生在相互讨论、启发中得到提高。2本节课始终体现“以学生为本”的教育理念，试图让学生经历观察、归纳、猜想、验证的数学发现过程，发展学生的合情推理能力，体验数学家们探求新知的乐趣。在此过程中，探索定理采用面积法，引导学生利用实验由特殊到一般再到更一般的规律，对直角三角形三边关系加以探究，得出结论。这种方法是认识事物规律的重要方法之一，通过教学让学生初步掌握这种方法，对于学生良好思维品质的形成有重要作用，对学生的终身发展也有一定的作用。3关于练习的设计，我采用分层训练，让不同的学生都学有所得，以达到因材施教的目的。练习反馈中既有勾股定理的基本应用，还有贴近学生生活的实例，既让学生感受到数学知识来源于生活又应用于生活，使学生深刻了解勾股定理的广泛应用。第 8 页 共 8 页