匀变速直线运动规律【学习目标】1、掌握匀变速直线运动的速度公式和位移公式，并能运用。2、掌握匀变速直线运动的三个重要结论及其应用。3、掌握匀变速直线运动的重要特点及其应用。【要点梳理】知识点一：匀变速直线运动的速度与时间的关系（1）匀变速直线运动的速度与时间的关系：（2）推导：根据匀变速直线运动的速度时间图象是一条倾斜的直线能够得到匀变速直线运动的速度时间关系：或者由变形即得到匀变速直线运动的速度与时间的关系式为：（3）说明：此式反映出做匀变速直线运动的物体的瞬时速度v是t的一次函数。公式与一段运动过程相对应，式中涉及四个物理量，分别对应着该运动过程的初、末状态及其运动时间。、均为矢量，应用公式计算时，须先规定正方向，凡与正方向相同者都取正值，与正方向相反者取负值。通常取初速度方向为正方向，此时匀加速直线运动的加速度用表示，匀减速直线运动的加速度用表示。若，则：知识点二：匀变速直线运动的位移与时间的关系（1）匀变速直线运动的位移与时间的关系为：（2）推导：我们知道对于匀速直线运动的位移，其数值上等于速度图线与时间轴之间围成的“长方形”的“面积”，这样速度一时间图线与时间轴所围成的“面积”就有了一定的物理意义，可以用来表示物体运动的“位移”。对于变速直线运动，此种方法同样适用，运用无限取微逐渐逼近的“极限思想”也可利用速度一时间图线求其位移。如图所示匀变速直线运动在时间t内的位移注意：速度图象与时间轴之间的“面积”只表示位移的大小。时间轴以上的面积，表示沿正方向的位移；时间轴以下的“面积”表示沿负方向的位移.（3）说明：此式反映出做匀变速直线运动的物体的位移如何随时间而变化。公式与一段运动过程相对应，式中涉及四个物理量，分别对应着该运动过程的初、末状态及其运动时间。、均为矢量，应用公式计算时，须先规定正方向，凡与正方向相同者都取正值，与正方向相反者取负值。通常取初速度方向为正方向，此时匀加速直线运动的加速度用表示，匀减速直线运动的加速度用表示。若，则：知识点三：匀变速直线运动的三个推论（一）变速直线运动的速度位移关系：根据匀变速运动的基本公式， ， 消去时间t，得 即为匀变速直线运动的速度位移关系要点诠释：式是由匀变速运动的两个基本关系式推导出来的，因为不含时间，所以若所研究的问题中不涉及时间这个物理量时利用该公式可以很方便, 应优先采用 公式中四个矢量、a、x也要规定统一的正方向.（二）匀变速直线运动的平均速度计算做匀变速直线运动的物体，加速度均为，经初位置时的速度为，经末位置时的速度为，对所研究的一段时间而言（1）在这段时间内的平均速度： 证明：将代入有：可得：说明：只适用于匀变速直线运动，其它运动不适用，但适用于一切运动。（2）分成前一半时间和后一半时间，中间时刻的瞬时速度 证明：如图，设C点为从A到B所用时间一半时的物体的位置，则：即：做匀变速直线运动的物体，在某段时间的中间时刻的瞬时速度等于这段时间内的平均速度。（三）在连续相邻的相等的时间(T)内的位移之差为一恒定值，即推证：设物体以初速v0、加速度做匀加速直线运动，自计时起时间T内的位移 在第2个时间T内的位移 即 进一步推证可得 ，知识点四：初速度为零的匀加速直线运动的几个比例式要点诠释： 初速度为零的匀加速直线运动是一种特殊的匀变速直线运动，它自己有着特殊的规律，熟知这些规律对我们解决很多运动学问题很有帮助 设以t0开始计时，以T为时间单位，则 (1)1T末、2T末、3T末、瞬时速度之比为v1:v2:v3:1:2:3: 可由vtat，直接导出 (2)第一个T内，第二个T内，第三个T内，第n个T内的位移之比为：x1:x2:x3:xn1:3:5:(2n-1) 推证：由位移公式得， ， 可见，x1 : x2 : x3 : : xn1 : 3 : 5 : : (2n-1) 即初速为零的匀加速直线运动，在连续相等的时间内位移的比等于连续奇数的比(3)1T内、2T内、3T内、位移之比为：，可由公式直接导出 (4)通过连续相同的位移所用时间之比 推证：由知， 通过第二段相同位移所用时间 ，同理：， ，则知识点五：纸带问题的分析方法 (1)“位移差法”判断运动情况，设时间间隔相等的相邻点之间的位移分别为x1、x2、x3 若0，则物体做匀速直线运动 若，则物体做匀变速直线运动 (2)“逐差法”求加速度，根据(为相邻两计数点的时间间隔)，有 ， 然后取平均值，即 这样使所给数据全部得到利用，以提高准确性要点诠释：如果不用“逐差法”求，而用相邻的x值之差计算加速度，再求平均值可得： 比较可知，逐差法将纸带上x1到x6各实验数据都利用了，而后一种方法只用上了x1和x6两个实验数据，实验结果只受x1和x6两个数据影响，算出a的偶然误差较大 其实从上式可以看出，逐差法求平均加速度的实质是用(x6+x5+x4)这一大段位移减去(x3+x2+x1)这一大段位移，那么在处理纸带时，可以测量出这两大段位移代入上式计算加速度，但要注意分母(3T)2而不是3T2 (3)瞬间速度的求法 在匀变速直线运动中，物体在某段时间t内的平均速度与物体在这段时间的中间时刻时的瞬时速度相同，即所以，第n个计数点的瞬时速度为： (4)“图象法”求加速度，即由，求出多个点的速度，画出v-t图象，直线的斜率即为加速度【典型例题】类型一、匀变速直线运动公式的灵活运用例1、一列从车站开出的火车，在平直轨道上做匀加速直线运动，已知这列火车的长度为l，当火车头经过某路标时的速度为v1，而车尾经过这个路标时的速度为v2，求： (1)列车的加速度a； (2)列车中点经过此路标时的速度v； (3)整列火车通过此路标所用的时间t【答案】（1） （2） （3）【解析】火车的运动情况可以等效成一个质点做匀加速直线运动，某一时刻速度为v1，前进位移l，速度变为v2，所求的v是经过处的速度其运动简图如图所示 (1)由匀变速直线运动的规律得，则火车的加速度为 (2)火车的前一半通过此路标时，有， 火车的后一半通过此路标时，有， 所以有，故 (3)火车的平均速度，故所用时间总结升华：对于不涉及运动时间的匀变速直线运动问题的求解，使用可大大简化解题过程举一反三【变式1】物体沿一直线运动，在t时间内通过的位移为x，它在中间位置x处的速度为v1，在中间时刻t时的速度为v2，则v1和v2的关系为()A当物体做匀加速直线运动时，v1v2B当物体做匀减速直线运动时，v1v2C当物体做匀速直线运动时，v1v2D当物体做匀减速直线运动时，v1v2【答案】ABC【解析】设物体的初速度为v0、末速度为vt，由vvvv2a.所以路程中间位置的速度为v1.物体做匀变速直线运动时中间时刻的速度等于这段时间内的平均速度，即v2第式的平方减去第式的平方得vv.在匀变速或匀速直线运动的过程中，vv一定为大于或等于零的数值，所以v1v2.【变式2】某飞机着陆时的速度是216km/h，随后匀减速滑行，加速度的大小是2m/s2。机场的跑道至少要多长才能使飞机安全地停下来？【答案】900m例2、一个做匀加速直线运动的质点，在连续相等的两个时间间隔内，通过的位移分别是24 m和64 m，每一个时间间隔为4s，求质点的初速度和加速度【答案】，【解析】匀变速直线运动的规律可用多个公式描述，因而选择不同的公式，所对应的解决方法也不相同 解法一：(基本公式法) 画出运动过程示意图，如图所示，因题目中只涉及位移与时间，故选择位移公式： 将、代入上式解得：， 解法二：(用平均速度公式) 连续的两段时间t内的平均速度分别为： ， B点是AC段的中间时刻，则， 得， 解法三：(用法) 由，得 再由，解得总结升华：(1)运动学问题的求解一般均有多种解法，进行一题多解训练可以熟练地掌握运动学规律，提高灵活运用知识的能力从多种解法的对比中进一步明确解题的基本思路和方法，从而提高解题能力 (2)对一般的匀变速直线运动问题，若出现相等的时间间隔问题，应优先考虑用判别式xaT2求解，这种解法往往更简捷举一反三【变式1】汽车自O点由静止开始在平直公路上做匀加速直线运动，途中5s时间内依次经过P、Q两根电线杆。已知P、Q相距50 m，车经过Q点时的速率为15 m/s，则（1）汽车经过P时的速率是多少？（2）汽车的加速度为多少？（3）O、P两点间距离为多少？思路点拨：根据题意已知匀变速直线运动的位移x和时间t，可确定初速v0与加速度a的关系，已知末速度v和时间t，可确定初速v0与加速度a的关系，联立两式问题即可求解。解析：分析物理过程，画草图。解法一：根据有：根据有：联立两式解得，由得所以解法二：若要求加速度，根据其定义式，只要知道两点速度及两点间的运动时间即可，题中已知两点位移和时间，那么就可知平均速度，而平均速度值与中间时刻的瞬时速度相等，于是可知从P点运动2.5s时刻的瞬时速度，用加速度定义式可求a。PQ全程5s内的平均速度PQ中间2.5s的瞬时速度加速度根据有： 解得由得所以总结升华：(1)在解决运动学问题时，要认真分析物理过程，练习画过程草图确定已知量和未知量，关键是求加速度，然后确定解决方案，根据运动规律求解。(2) 匀变速直线运动的规律可用多个公式描述，选择不同的公式所对应的解法也不同。对于具体问题要具体分析，方法运用恰当能使解题步骤简化，起到事半功倍之效。【变式2】某物体做初速度为2m/s的匀加速直线运动，第4s内的位移是16m，求物体的加速度。思路点拨：已知初速度和第4s内的位移，可以把第4s内的位移与前4s内的位移和前3s内的位移联系起来。解析：分析物理过程，画草图。解法一：取物体运动的方向为正方向，设物体加速度的大小为a，其方向应与运动方向相同。 在03s时间内，物体的位移为：在04s时间内，物体的位移为：物体在第4s内的位移为：解得：，加速度方向与运动方向相同解法二：已知第4s内的位移，可以求第4s内的平均速度，利用推论，可以求得在3.5秒末的速度，则根据公式可以求加速度。 第4s内的平均速度： 3.5秒末的速度： 加速度为：总结升华：一定要正确分析运动的过程，包括运动过程的初态、末态和运动时间； 通常把第n秒内的位移与前n秒内和前n-1秒内的位移联系起来。若已知时间和在这段时间内物体的位移，很快可得到