2019年北师大版精品数学资料www.ks5u.com典例剖析：从位移的合成到向量的加法例1 给出下列命题向量的长度与向量的长度相等；向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；两个有共同起点并且相等的向量，其终点必相同；两个有共同终点的向量，一定是共线向量；向量与向量是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上；有向线段就是向量，向量就是有向线段.其中假命题的个数为（ ）A.2B.3C.4D.5答案 C 例2 如图所示，若四边形ABCD是一个等腰梯形，ABDC，M、N分别是DC、AB的中点，已知=a，=b，=c，试用a、b、c表示，+.解 =+=-a+b+c，=+，=-,=-,=,=a-b-c.+=+=2=a-2b-c.例3 设两个非零向量a与b不共线，（1）若=a+b,=2a+8b,=3(a-b)，求证：A、B、D三点共线；（2）试确定实数k，使ka+b和a+kb共线.（1）证明 =a+b,=2a+8b,=3(a-b),=+=2a+8b+3(a-b)=2a+8b+3a-3b=5(a+b)=5.、共线，又它们有公共点B，A、B、D三点共线.（2）解 ka+b与a+kb共线，存在实数，使ka+b=(a+kb),即ka+b=a+kb.(k-)a=(k-1)b.a、b是不共线的两个非零向量，k-=k-1=0，k2-1=0.k=1.例4 （12分）如图所示，在ABO中，=,=,AD与BC相交于点M，设=a，=b.试用a和b表示向量.解 设=ma+nb，则=-=ma+nb-a=(m-1)a+nb.=-=-=-a+b.又A、M、D三点共线，与共线.存在实数t,使得=t，即(m-1)a+nb=t(-a+b). 3分(m-1)a+nb=-ta+tb. ，消去t得：m-1=-2n，即m+2n=1. 5分又=-=ma+nb-a=(m-)a+nb.=-=b-a=-a+b.又C、M、B三点共线，与共线. 8分存在实数t1,使得=t1,a b(m-)a+nb=t1,，消去t1得,4m+n=1 10分由得m=,n=,=a+b. 12分