第6 章 自相关1. 自相关定义1)非自相关由第2 节知回归模型的假定条件之一是，Cov(u.,u.)=E(u. u) =0, (i, jeT, i 工 j),(1.1)i ji j即误差项u的取值在时间上是相互无关的。称误差项u非 tt自相关。2)自相关如果Cov (u , u )丰 0, (i 丰 j)i.则称误差项 ut 存在自相关。t自相关又称序列相关。原指一随机变量在时间上与其滞 后项之间的相关。这里主要是指回归模型中随机误差项 ut t 与其滞后项的相关关系。自相关也是相关关系的一种。2自相关类型 1)自相关按滞后阶数可分为两类。(1) 一阶自回归形式 当误差项 ut 只与其滞后一期值有关时，即tut = f (ut - 1),称 ut 具有一阶自回归形式。t(2) 高阶自回归形式当误差项u的本期值不仅与其前一期值有关，而且与其t前若干期的值都有关系时，即Ut = f M-1 U t-2 则称U具有高阶自回归形式。t2）按函数形式分为线性自相关和非线性自相关（1）线性自相关f为线性函数形式（2）非线性自相关f为非线性函数形式3一阶线性自相关通常假定误差项的自相关是线性的。因计量经济模型中自相关的最常见形式是一阶自回归形式，所以下面重点讨论误差项的线性一阶自回归形式，即ut =aut -1 + vt(1.2)tt -1 tvt 满足通常假设t1其中a是自回归系数，V是随机误差项。 1tE(vt ) = 0, t = 1, 2 , T,tVar(v) = Q 2, t = 1, 2 ,T,tvCov(v., v.) = 0, i 丰 j, i, j = 1, 2 T, ij口1的估计公Cov(ut-1, vt) = 0, t = 1, 2 ., T, 依据普通最小二乘法公式，模型(1.2)中式是，（卩=工（y）（x x）（1.3）1【（X x）2t1其中T是样本容量。若把ut, uti看作两个变量，贝I陀们的 t t-1相关系数是另u u0 = -忆u 2送u 2tt-1t=2 t=2(r =Et (y y)(x x)t=1_t土:Et ( y _ y )2 工T (x x)2 t=1tt=1t)(14)对于大样本显然有把上关系式代入(1.4)Eu 2 Eu 2 tt 1t =2t =2式得(1.5)ET uu0- t=2，t-1ET u 2 t1因而对于总体参数有a10 =a ，1(1.6)即一阶自回归形式的自回归系数等于该二个变量的相关系数。因此原回归模型中误差 项 ut 的一阶自回归形式(见模型(1.2)可表示为，tut = 0 ut-1 + vt(17)0 的取值范围是 -1， 1。(1) 当P 0时，称u存在正自相关；t(2) 当pv 0时，称u存在负自相关。t(3) 当p = 0时，称u不存在自相关。t图 1.1 a, c, e, 分别给出具有正自相关，负自相关和非自 相关的三个序列。为便于理解时间序列的正负自相关特征， 图 1.1 b, d, f, 分别给出图 1.1 a, c, e, 中变量对其一阶滞后 变量的散点图。正负自相关以及非自相关性展现的更为明了。a. 非自相关的序列图b. 非自相关的散点图c. 正自相关的序列图6d. 正自相关的散点图X10 20 30 40 50 60 70 80 90 1006420-2-4-6e. 负自相关的序列图6420-2-4-6-6 -4 -20246f. 负自相关的散点图图 1.1 时间序列及其自相关散点图4. 自相关的来源与后果1) 来源误差项存在自相关，主要有如下几个原因(1) 模型的数学形式不妥。若所用的数学模型与变量间 的真实关系不一致，误差项常表现出自相关。比如平均成 本与产量呈抛物线关系，当用线性回归模型拟合时，误差 项必存在自相关。10000800082 84 86 88 90 92 94 96 98150010005000-500-1000-1500-2000200060004000FD IGD P01 0 0 2 0 0 3004 0 0 5 0 082 84 86 88 90 92 94 96 98(2) 惯性。大多数经济时间序列都存在自相关。其本期值往往受滞后值影响。突出特征就是惯性与低灵敏度。如 国民生产总值，固定资产投资，国民消费，物价指数等随 时间缓慢地变化，从而建立模型时导致误差项自相关。(3) 回归模型中略去了带有自相关的重要解释变量。 若丢掉了应该列入模型的带有自相关的重要解释变量，那 么它的影响必然归并到误差项 u 中，从而使误差项呈现自 相关。当然略去多个带有自相关的解释变量，也许因互相 抵消并不使误差项呈现自相关。2)后果当误差项u存在自相关时，模型参数的最小二乘估计量t具有如下特性。(1) 只要假定条件Cov(X u) = 0成立，回归系数b仍具 有无偏性。(2) M丧失有效性。(3) 有可能低估误差项u的方差。tVar )和s2都变大，都不具有最小方差性。1u5. 自相关检验 下面介绍三种判别与检验方法。1 )图示法 图示法就是依据残差 et 对时间 t 的序列图作出判断。t由于残差e是对误差项u的估计，所以尽管误差项u观测ttt不到，但可以通过e的变化判断u是否存在自相关。tt2) DW(Durbin-Watson)检验法(1) DW检验，应首先满足如下三个条件。a误差项u的自相关为一阶自回归形式。tb. 因变量的滞后值 y -1不能在回归模型中作解释变量。-1c. 样本容量应充分大(T 15)(2) DW检验步骤如下。给出假设H0: p = 0(ut不存在自相关)斗:pH 0 (ut存在一阶自相关) 用残差值e计算统计量DW。t另(e e )2 DW = =2 tt-1(114)另e2t其中分子是残差的一阶差分平方和，分母是残差平方和。把上式展开，DW =(1.15)另 e 2 + e 2 2 县 eett -1t t -1t m 2t 三 2t 三 2送e2tm1因为有(1.16)tt -1tt m 2t m 2t m1代入(1.15)式，2TT e 2 - 2TT e eTT e eDW - - -_ t - = 2(1- _ t - ) = 2 (1 -卩).(1.17)另e 2另e 22 t-1tm2 t-1因为P的取值范围是-1,1,所以DW统计量的取值范围是0, 4。p与DW值的对应关系见表1.1。表1.1 p与DW值的对应关系及意义pDWp = 0p= 1p = -10 p 1-1 p 0DW = 2DW = 0DW = 40 DW 22 DW %2（n），扌