谈谈高中数学解题中的“以退为进”思想著名数学家华罗庚指出：“善于退，足够的退，退到最原始而不失重要的地方，是学好数学的一个诀窍。”又云：“先足够的退到我们最容易看清楚的地方，认透了，钻深了，然后再上去。”这就是以退为进的思想。这种思想也是我们解证数学问题时的唯物辨证思想的一种体现。一、从抽象退到具体“抽象”是透过事物现象，深入内部，抽取事物本质的过程的一种认识方法。“具体”是把抽象出的概念、原理同相应的感性材料联系起来，从而更具体的理解概念的一种认识方法，抽象与具体是对立的统一。高度的抽象是数学的一个基本特点，要解决数学问题或解数学题，有时问题较抽象，不易发现其内在的联系和规律，因而往往要从“抽象”后退到“具体”的几何图形上来考虑，使问题更易理解，更好解决。例1 已知x，y是实数，求证：分析：要证的不等式左边有根号，它们的数量关系较抽象，直接证明难以入手。因此不妨退到所表示的几何图形上考察。（如图1）。图1由，当且仅当A点落在线段OB上时取等号。而因而例2 对于，确定的所有可能值。分析：仔细观察上述代数式的结构，容易联想起两点的距离之差。事实上，这表示x轴上的点P（a，0）到两定点A（）和B（）的距离之差（如图2）。图2由于线段AB平行于y轴，不论P（a，0）在x轴什么位置，始终可构成PAB，由“三角形任意两边之差小于第三边”，得即的值在（1，1）内。二、从一般退到特殊所谓“一般”是指人们追求普遍性认识的一种方式。而“特殊”是指人们深入个别认识的一种方式。当解决一般问题，直接找出结论规律或方法受阻时，往往考虑由某种特殊的或有限的情形，归纳推导到一般情形，即以一般向“特殊”后退的思想方法去探求规律和寻找解题方法。例3 已知，其中是满足的常数，试问，为何值时，与无关。分析：根据题设条件可知，对于所有不同的，恒为定值。为了探求，的值，所以我们考虑的几个特殊值，=0，使的表达式变得较为简单。由不难求得，又由知，。从而。所以，经检验，即为所求。三、从多退到少对元素较多，呈现的情况较复杂的问题，我们可以先从元素较少的简单情况进行研究，然后以此为起点去解答较多元素的问题，它常能起到“退一步，进两步”的作用。例4 设，其中。求证：。分析：由于变元较多，难于下手，先退为二元考虑，即设，有。只要证得就行，这是不难办到的，事实上，所以。所以所以所以这样就开启了原题证明的决窍。（证明过程略）四、从整体退到局部有些数学问题，如果从整体上不便解决，可先研究其局部，如果局部问题得以解决，常常能促使问题整体得以解决。例5 在锐角三角形ABC中，求证：。证明：因为为锐角三角形，所以A（0，），所以B+C（，），且B，C（0，）又因为在（0，）为增函数所以，即。同理所以。例6 试判断函数的单调性。分析：此函数的定义域为R，要直接判断在R上的单调性有一定的难度，注意到为奇函数，它在和上的单调性相同，这就把判断在R上的单调性问题转化为判断在上的单调性问题。任取，且，则，从而。所以，即。所以在上单调递增，由奇函数的性质知在R上单调递增。五、从高维、高次退到低维、低次例7 求证。分析：该题的特点是右边是积的形式，左边是和的形式且次数偏高。故对左边进行降次，用何种方法把高次降下来，容易看出采用因式分解为宜。证明：左边例8 斜三棱柱的一个侧面的面积等于S，这个侧面与它所对的棱的距离等于a，求证：这个棱柱的体积等于。证明：类比联想平面几何中借助于四边形的面积推求三角面积的过程中，曾运用补形法。这里，把斜三棱柱补成平行六面体，且把它看成以为底面的四棱柱，它的高恰为a，故有。