第八讲 解直角三角形【学习目标】1、了解锐角三角函数定义及熟记30、45、60的三角函数值。2、会用直角三角形的性质和锐角三角函数解直角三角形。3、会用解直角三角形的有关知识解决某些简单的实际问题。【知识框图】锐角三角函数 特殊三角函数值（300、450、600）解直角三角形实际应用（锥度、坡度等）【典型例题】例1：ABC中，ACB=Rt,CDAB于点D，若BDAD=14，则tgBCD的值是（ ）A、 B、 C、 D、2解：设BD=a，AD=4a, 由CD=ADDB，得CD=2a tgBCD= ,应选C。 A D B评注：锐角三角函数的实质是线段比。例2：四边形ABCD中，BD是对角线，DCBC于点C，若AB=100，A=450，DBA=750，CBD=300，求BC的长。解：过点B作BEAD于点E 在RtABE中，A=450 ，AB=100 BE=50 A=450 ，DBA=750 ADB=600 BE=50 BD= 在RtBCD中，CBD=300，BD=BC=50 评注：（1）此题的解题过程，体现了两种转化：1）题目图中有斜三角形，一般 通过添适当的辅助线使之转化为直角三角形。2）把条件先集中到一个直角三角形中，使其首先可解，求出这个直角三角形的其他元素之后，使相邻的直角三角形也可解。例3：一艘渔船正以30海里/时的速度由西向东追赶鱼群，在A处看见小岛C在船的北偏东600，40分钟后，渔船行至B处，此时看见小岛C在船的北偏东300，已知以小岛C为中心周围10海里以内为我军导船部队军事演习的着弹危险区，问这艘渔船继续向东追赶鱼群，是否有进入危险区域的可能？解：如图 设BD=x，由（20+x）tg300=xtg600 得x=10CD=10tg600 =10 10 10 这艘船继续向东追赶鱼群不会进入危险区域。评注：运用解直角三角形的知识解决实际问题时，应认真分析题意，画图并找出要解的直角三角形，再选择合适的边角关系，使运算尽可能简便。例4：已知a,b,c为ABC的三边，它们的对角分别为A，B，C，且acosB=bcosA,又已知二次函数y=b(x-1)+c(x+1)-2ax的图象与x轴有且只有一个交点，求这个交点的坐标。解：抛物线与x轴只有一个交点。=（-2a) -4(b+c)(c-b)=0,即a+b=cABC是Rt，且C=900在RtABC 中，有cosB= ,cosA= , 又acosB=bcosAa =b a=b即ABC是等腰直角三角形。可设a=b=m(m0),则c= = m 抛物线与x轴交点横坐标为x= -1, 交点坐标为（ -1，0）。评注：这是一道函数三角形综合题，解题的关键是确定三角形的形状。【备选例题】已知ABC 的两边长a=3，c=5，且第三边长b为关于x的一元二次方程x-4x+m=0的两个正整数根之一，求SinA的值。解：设x,y是关于x的方程x-4x+m=0的两个正整数根。x+y=4 x=1,y=3或x=y=2或x=3,y=1b只能取1，2，3 2b8 b=3过C作CDAB，在RtACD 中，SinA=【课堂小结】1、解直角三角形时，必须明确三角函数定义。2、对于斜三角形可适当添辅助线构造直角三角形使问题得到解决。3、解决实际问题要明确一些术语，如坡度、锥度、俯角、仰角等，准确观察示意图，把实际问题中的数量关系反映到几何图形上，然后求解。【基础练习】1、三角形ABC中，C为直角，如果SinA = ，则tgB 是（ ）A、 B、 C、 D、2、RtABC中，ACB=Rt，CDAB于点D，AD=4，SinACD= ，则CD=_,BC=_.3、在RtABC中，C=900，cosA= ,SinB=|n|- ,那么n的值是_.4、计算： -5、一拦水坝的横断面为梯形ABCD，BCAD，AB=5m，BC=2. 5m，斜坡CD的坡度i1=12，斜坡AB的坡度i2=43，求坝底宽AD与斜坡CD的长。【巩固练习】一、填空1、 +|1+sin600|=_2、一等腰三角形的两边长分别为4cm和6cm，则其底角的余弦值为_3、坡角为300的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需_m,（精确到1m）4、已知旗杆AB，在C处测得旗杆顶A的仰角为300，向旗杆前进10m,到达D，在D 处测得A的仰角为450，则旗杆的高为_二、在RtABC中，ACB=900，sinB= ,D是BC边上一点，DEAB，垂足为E，CD=DE，AC+CD=9，求（1）BC的长（2）CE的长.【课后反思】1