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考点24 抛物线1.(2010福建高考理科)以抛物线的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为( )【命题立意】本题考查学生对抛物线焦点的识记以及圆方程的求解.【思路点拨】的焦点为,求解圆方程时,确定了圆心与半径即可.【规范解答】选D.抛物线的焦点为,又圆过原点,所以r,圆的方程为.【一题多解】方法一:(设圆的标准方程)抛物线的焦点为,圆心为.设圆的方程为,又圆过原点,所求圆的方程为,即为.方法二:(设圆的一般方程)设圆的方程为,抛物线的焦点为,圆心为,又圆过原点,所求圆的方程为 .2.(2010陕西高考理科8)已知抛物线y2=2px(p0)的准线与圆x2+y26 x7=0相切,则p的值为( )(A) (B) 1 (C) 2 (D) 4【命题立意】本题考查抛物线、圆等的基本概念与性质,属送分题.【思路点拨】y2=2px 准线 圆心到准线的距离等于半径 求出p的值 【规范解答】选C.由y2=2px,得准线.圆x2+y26 x7=0可化为.由圆心到准线的距离等于半径得:3.(2010辽宁高考理科7)设抛物线y2=8x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PAl,A为垂足如果直线AF的斜率为,那么|PF|=( ) (A) (B)8 (C) (D) 16【命题立意】本题考查抛物线的定义,考查抛物线的准线方程,考查两点间的距离公式.【思路点拨】A点坐标P点坐标求|PA|PF|PA|【规范解答】选B.由抛物线方程,可得准线l方程为:.设点A坐标为(-2,n),.P点纵坐标为4.由,P点坐标为(6,4),|PF|PA|6(2)|8,故选B.4.(2010山东高考文科9)已知抛物线,过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于,两点,若线段的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为() (A) (B) (C) (D)【命题立意】本题考查抛物线的性质及直线与抛物线的位置关系,考查了考生的分析问题、解决问题能力和运算求解能力.【思路点拨】利用点差法先求出的值,再求抛物线的准线方程.【规范解答】选B.设,则因为,两点在抛物线上,得, , - 得 .又线段的中点的纵坐标为2,即,直线的斜率为1,故,因此抛物线的准线方程为【方法技巧】弦中点问题1.对于弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解,在使用根与系数的关系时,要注意使用条件是2.在椭圆中,以为中点的弦所在直线的斜率.3.在双曲线中,以为中点的弦所在直线的斜率.4.在抛物线中,以为中点的弦所在直线的斜率.5.(2010湖南高考理科5) 设抛物线上一点P到y轴的距离是4,则点P到该抛物线焦点的距离是( )(A)4 (B)6 (C)8 (D)12【命题立意】本题考查抛物线的定义.【规范解答】选B.点P到y轴的距离是4,延长使得和准线相交于点Q,则PQ等于点P到焦点的距离,从而PQ=6,故选B.6.(2010安徽高考文科12)抛物线的焦点坐标是 .【命题立意】本题主要考查抛物线方程及其焦点,考查考生对抛物线方程理解认知水平. 【思路点拨】方程为标准形式 确定焦距P 确定焦点坐标 .【规范解答】抛物线,焦点.【答案】7.(2010浙江高考理科13)设抛物线的焦点为,点.若线段的中点在抛物线上,则到该抛物线准线的距离为_.【命题立意】本题考查抛物线的相关知识.【思路点拨】先求出抛物线的焦点F,计算出点B的坐标,代入到抛物线方程,解出,从而可求出抛物线的方程,点B的坐标及准线方程.【规范解答】抛物线的焦点坐标为F,FA中点在抛物线上,抛物线的准线方程为,点B到该抛物线准线的距离为.【答案】8(2010湖南高考理科4)过抛物线的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于两点,在轴上的正射影分别为若梯形的面积为,则 【命题立意】以抛物线为载体,考查直线和圆锥曲线的关系,本题还考查了学生的运算能力.【思路点拨】直线和圆锥曲线联立得一元二次方程根与系数的关系【规范解答】设直线方程为y=x+,结合得到x2-2px-p2=0,而梯形的面积=,p=2.【答案】2【方法技巧】关于直线和圆锥曲线的问题,常有三条思路:一是利用定义;二是点差法;三是利用根与系数的关系.9.(2010福建高考文科9)已知抛物线C:过点A (1 , -2).(1)求抛物线C 的方程,并求其准线方程.(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线L,使得直线L与抛物线C有公共点,且直线OA与L的距离等于?若存在,求直线L的方程;若不存在,说明理由.【命题立意】本题考查直线、抛物线等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查函数方程思想、数形结合思想、化归转化思想. 【思路点拨】第一步用待定系数法求出抛物线方程及其准线方程;第二步依题意假设直线l的方程为,联立直线与抛物线的方程,利用判别式限制参数t的范围,再由直线OA与直线l的距离等于列出方程,求解出t的值,注意判别式对参数t的限制. 【规范解答】(1)将代入,得,故所求的抛物线方程为,其准线方程为. (2)假设存在符合题意的直线,其方程为,由得.因为直线与抛物线C有公共点,所以22-41(-2t)=,解得.另一方面,由直线OA与直线的距离等于可得.由于所以符合题意的直线存在,其方程为.【方法技巧】在求解直线与圆锥曲线的位置关系中的相交弦问题时,我们一定要注意判别式的限制.因为抛物与直线有交点,注意应用0进行验证可避免增根也可以用来限制参数的范围.10.(2010浙江高考文科22)已知m是非零实数,抛物线(p0)的焦点F在直线上. (1)若m=2,求抛物线C的方程.(2)设直线与抛物线C交于A,B,A,的重心分别为G,H.求证:对任意非零实数m,抛物线C的准线与x轴的交点在以线段GH为直径的圆外.【命题立意】本题主要考查抛物线几何性质,直线与抛物线、点与圆的位置关系等基础知识,同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力.【思路点拨】(1)写出抛物线的焦点坐标代入到直线方程中可出求.(2)把点在圆外转化为点到圆心的距离大于半径.【规范解答】(1)因为焦点F(,0)在直线l上,得.又m=2,故.所以抛物线C的方程为.(2)设A(x1,y1) , B(x2,y2),由消去x,得y22m3ym40.由于m0,故(-2m3)2-41(-m4)4m64m40,且有y1y22m3,y1y2m4.设M1,M2分别为线段AA1,BB1的中点,由于可知G(),H(),所以所以GH的中点M为设R是以线段GH为直径的圆的半径,则4.设抛物线的准线与x轴交点N,则.故N在以线段GH为直径的圆外.【方法技巧】(1)设而不求思想在解决圆锥曲线问题时较常用,一般设出后,通过联立方程组,消元,利用根与系数的关系,得到(或),再整体代入.(2)点与圆的位置关系问题,一是看点到圆心的距离;二是代入到圆的方程中验证.
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