课堂教学需要从数学上把握好教学内容的整体性和联系性之三对古典概型教学的思考 北京师范大学 数学科学学院 钱珮玲在课堂教学中为什么要强调整体性和联系性？强调整体性和联系性，是数学学科特点的要求，数学科学的严谨性和系统性要求数学教学必须要从整体上把握高中数学和中学数学的内容，只有从整体上把握了高中数学和中学数学的内容，才能对每一章节、每一堂课的内容的地位、作用有深入的分析，对重、难点有恰当的定位，也才能有效地突出重点、突破难点，合理地分配时间。强调整体性和联系性，是数学学习的需要，是学生认知的需要，学生有意义的学习不是一个被动接受知识、强化储存的过程，而是用原有的知识处理各项新的学习任务，通过同化和顺应等心理活动和变化，不断地构建和完善认知结构的过程，把客观的数学知识内化为自己认知结构中的成分，而强调整体性和联系性正是顺应了学生这一认知的需要，可以帮助学生将零散的知识点形成有内在联系的知识网络，而形成网络结构的知识不仅对于当前的学习，而且对于学生认识和理解数学都是十分有益的。强调整体性和联系性也是新课程模块和专题结构的需要。例如对必修3中古典概型的教学，首先要把握好有关内容的整体框架：对于高中数学中的概率内容，始终要把握好一个总目标，这就是帮助学生认识和理解概率的本质及其基本思想。新课程将古典概型放在必修课程中，而把计数原理放到后面的选修课程中，也是为了使学生更好地认识概率的基本思想，而不仅仅只是会计算概率。因此，要不失时机地帮助学生去认识客观世界中存在着大量的必然现象和偶然现象（又叫随机现象）。科学需要我们通过大量的偶然性找出规律性、必然性。概率的研究对象就是在一定条件下的随机现象（随机试验），分析随机现象的各种可能发生的结果，研究偶然中蕴含的规律性、必然性。随机试验中每一个可能发生的结果称为基本事件，基本事件或基本事件之并（和）称为事件（或随机事件）。概率是一种度量，是对事件发生可能性大小的一种度量。其次要了解初中概率已学内容，力求做到自然的衔接和有效的螺旋上升。此外，还要了解概率的几种定义方式及其发展，以便做到对相应内容的设计和教学有整体的认识、恰当的定位，。考虑到中学生的认知特点和课程设置的目标，教材先给出概率的统计定义，然后再学习古典概型和几何概型。一是考虑到学生在义教阶段对概率已有接触和一些了解，因此，可以作一定的理论提升；二是考虑到学生对如何去度量随机事件发生可能性的大小会感到很茫然，无从入手，而统计定义有助于使学生参与到试验中去亲自体验概率的含义以及如何去度量。而对两个特殊概型古典概型和几何概型的内容，不仅是学习内容本身，也是为了通过这些特殊概型对概率的含义和思想有进一步的认识和理解。因此，在古典概型的教学中，不仅要把握好教学重点是理解古典概型的特征；如何判断一个随机试验模型是否古典概型是教学中的难点，包括如何确定基本事件，会对简单的古典概型问题进行计算。而且在教师的心目中始终要把握住一个总目标，这就是：进一步认识和理解随机思想，认识和理解概率的含义概率是一种度量，是对随机事件发生可能性大小的一种度量。为了更好地突出重点和突破难点，要尽可能设计学生熟悉的实例，要有正反两方面的实例，最简单的反例可以让学生判断掷一颗长方形的骰子是不是一个古典概型？由此可以突出“均匀“一词的内涵他保证了等可能性！这一反例虽然简单，但我们的目的是使学生加深对等可能性的理解。也可以与学生一起举例，鼓励学生参与到教学活动中，激发学生的深层次思维活动。同样，在几何概型的教学中，除了要了解几何概型的特征和学会对简单的几何概型问题进行相应的计算外，仍然要把握住学习概率这部分内容的总目标，而不仅仅是把重点放在单纯的计算和当前这一节课的内容上。一个普遍的现象是感到古典概型课的课时紧，几何概型课的课时松，出现这一现象的确也与内容本身有关。但是，需要思考的是在我们心目中是否缺乏对概率这一内容总目标的认识，注重得更多的还是当前这节课的内容，而忽视了对概率这一内容整体性和联系性的认识和把握，一旦在我们心目中有了学习概率的总目标，就会在学习几何概型内容时从整体上对教材中的相应例子作出适当的挖掘和延伸，联系古典概型和概率的基本思想，帮助学生进一步认识概率的本质，就不会觉得课时松了。同时，如果我们注意到了与初中概率内容的联系，学生在初中已接触了古典概型，那么在讲古典概型时就应减少不必要的重复，而是把注意力放在如何利用学生已有的基础去提升对古典概型的认识和理解上提升什么？如何提升？在现行教材中，提升主要体现在两个方面，一是将“随机试验中可能出现的每一结果”提升为“基本事件”，二是概括出古典概型的两个特征并学会如何判断。要指出的是，从整体上来说，“基本事件”是一个较为重要的基本概念，但从局部来看，即在中学数学的古典概型这节课中，不可能也没必要给出基本事件的确切定义，因此也不作为一个基本概念来对待。只是教师心中需要对基本事件的特征有清楚的认识，即基本事件有两个本质特征：互斥性和可表示性。这两个特征保证了可以用基本事件或基本事件的并（和）表示该随机试验中的每一随机事件（除了不可能事件）。“不能再分”不是基本事件的特征，此外，基本事件也不都是等可能的，如前面提到的掷一颗长方形骰子的例子。等可能性是古典概型的特征。对于某个随机试验，可以有不同的方式来确定基本事件。例如，对于“掷一枚骰子的随机试验中，向上的点数是偶数的概率是多少？”这一问题，如果用分别表示掷骰子所得点数，则基本事件共有6个，即1，2，3，4，5，6。如果用表示掷骰子所得点数的奇偶，则基本事件共有2个，即奇， 偶 。两种方式确定的基本事件总数（）分别为6和2，事件A包含的基本事件个数()分别为3和1，但是的值相等。两种确定基本事件的方式都可以求出“掷一枚骰子的随机试验中，向上的点数是偶数”的概率。关键在于要从解决问题的需要出发来确定基本事件,建立适当的概率模型。首先是要能正确地确定基本事件，然后要考虑简便。在上面的例子中，两种确定基本事件的方法都是正确的，但后面的方法更为简便些。进一步可以让学生考虑“在连续两次掷一枚骰子的随机试验中，向上的点数之和是偶数的概率是多少？”的问题。概括出古典概型的两个特征并学会如何判断是在初中学习古典概型基础上的提升，这一提体升主要体现在对古典概型的认识和理解上。具体地说，是从操作层面到理论层面的进一步的抽象概括，即从会按一定步骤算出简单的古典概型的概率到不仅会算，更是会思考如何去判断一个随机试验模型是古典概型包括如何选择适当的方式正确地确定基本事件，以及对古典概型中等可能性的要求；思考古典概型作为一种特殊的模型是如何体现概率思想的。此外，在这一内容的学习中，学生所犯的错误很多情况都是出在等可能性问题上，因此，在教学中要特别注意举出正、反两方面的例子，帮助学生学会正确判断。考虑到课时紧的因素，可以在练习中进一步安排正、反两方面的实例，加以巩固。从整体来说，这一提升这也正是不断深化认识、深化思维、螺旋上升的过程，是帮助学生面对一个实际问题学会如何思考？判别古典概型时应如何抓住关键问题？出错的原因又是什么？等等，古典概型是一种最基本的概率模型，在概率论中占有相当重要的地位，它的引入，从整体上可以帮助我们进一步认识和理解概率的本质和思想，解释现实世界中的一些实际问题，教学中应从整体上和相互间的联系上去思考问题，解决问题。1