课时分层训练(二十三)三角形中的几何计算、解三角形的实际应用举例A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1如图379所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20，灯塔B在观察站C的南偏东40，则灯塔A与灯塔B的距离为()图379Aa kmB.a kmC.a kmD2a kmB在ABC中，ACBCa，ACB120，AB2a2a22a2cos 1203a2，ABa.2如图3710，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40，灯塔B在观察站南偏东60，则灯塔A在灯塔B的()图3710A北偏东10B北偏西10C南偏东80D南偏西80D由条件及题图可知，AB40，又BCD60，所以CBD30，所以DBA10，因此灯塔A在灯塔B南偏西80.3一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65，那么B，C两点间的距离是()【导学号：57962183】A10海里B10海里C20海里D20海里A如图所示，易知，在ABC中，AB20海里，CAB30，ACB45，根据正弦定理得，解得BC10(海里)4如图3711，一条河的两岸平行，河的宽度d0.6 km，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB1 km，水的流速为2 km/h，若客船从码头A驶到码头B所用的最短时间为6 min，则客船在静水中的速度为()图3711A8 km/hB6 km/hC2 km/hD10 km/hB设AB与河岸线所成的角为，客船在静水中的速度为v km/h，由题意知，sin ，从而cos ，所以由余弦定理得2212221，解得v6.5在不等边三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a为最大边，如果sin2(BC)sin2Bsin2C，则角A的取值范围为()A.BC.DD由题意得sin2Asin2Bsin2C，再由正弦定理得a20.则cos A0.0A，0A.因此得角A的取值范围是.二、填空题6在地上画一个BDA60，某人从角的顶点D出发，沿角的一边DA行走10米后，拐弯往另一方向行走14米正好到达BDA的另一边BD上的一点，我们将该点记为点B，则B与D之间的距离为_米16如图所示，设BDx m，则142102x2210xcos 60，整理得x210x960，x6(舍去)，x16，x16(米)7如图3712，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60，再由点C沿北偏东15方向走10米到位置D，测得BDC45，则塔AB的高是_米.图3712【导学号：57962184】10在BCD中，CD10，BDC45，BCD1590105，DBC30，BC10.在RtABC中，tan 60，ABBCtan 6010(米)8如图3713所示，一艘海轮从A处出发，测得灯塔在海轮的北偏东15方向，与海轮相距20海里的B处，海轮按北偏西60的方向航行了30分钟后到达C处，又测得灯塔在海轮的北偏东75的方向，则海轮的速度为_海里/分钟图3713由已知得ACB45，B60，由正弦定理得，所以AC10，所以海轮航行的速度为(海里/分钟)三、解答题9某航模兴趣小组的同学，为了测定在湖面上航模航行的速度，采用如下办法：在岸边设置两个观察点A，B，且AB长为80米，当航模在C处时，测得ABC105和BAC30，经过20秒后，航模直线航行到D处，测得BAD90和ABD45.请你根据以上条件求出航模的速度(答案可保留根号)图3714解在ABD中，BAD90，ABD45，ADB45，ADAB80，BD80.3分在ABC中，BC40.6分在DBC中，DC2DB2BC22DBBCcos 60(80)2(40)2280409 600.DC40，航模的速度v2米/秒. 12分10如图3715，渔船甲位于岛屿A的南偏西60方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上图37151)求渔船甲的速度；(2)求sin 的值.【导学号：57962185】解(1)依题意知，BAC120，AB12，AC10220，BCA.3分在ABC中，由余弦定理，得BC2AB2AC22ABACcosBAC12220221220cos 120784，解得BC28.所以渔船甲的速度为14海里/小时.7分(2)在ABC中，因为AB12，BAC120，BC28，BCA，由正弦定理，得，9分即sin .12分B组能力提升(建议用时：15分钟)1一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45，沿点A向北偏东30前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30，则水柱的高度是 ()A50 mB100 mC120 mD150 mA设水柱高度是h m，水柱底端为C，则在ABC中，A60，ACh，AB100，BCh，根据余弦定理得，(h)2h210022h100cos 60，即h250h5 0000，即(h50)(h100)0，即h50，故水柱的高度是50 m2(20xx全国卷)如图3716，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点从A点测得M点的仰角MAN60，C点的仰角CAB45以及MAC75；从C点测得MCA60.已知山高BC100 m，则山高MN_m.图3716150根据图示，AC100 m.在MAC中，CMA180756045.由正弦定理得AM100 m.在AMN中，sin 60，MN100150(m)3已知在东西方向上有M，N两座小山，山顶各有一个发射塔A，B，塔顶A，B的海拔高度分别为AM100米和BN200米，一测量车在小山M的正南方向的点P处测得发射塔顶A的仰角为30，该测量车向北偏西60方向行驶了100米后到达点Q，在点Q处测得发射塔顶B处的仰角为，且BQA，经测量tan 2，求两发射塔顶A，B之间的距离图3717【导学号：57962186】解在RtAMP中，APM30，AM100，PM100，连接QM(图略)，在PQM中，QPM60，3分又PQ100，PQM为等边三角形，QM100.6分在RtAMQ中，由AQ2AM2QM2，得AQ200.在RtBNQ中，tan 2，BN200，BQ100，cos .9分在BQA中，BA2BQ2AQ22BQAQcos (100)2，BA100.即两发射塔顶A，B之间的距离是100米.12分