习 题 411求解下列微分方程1 解 利用微分法得 当 时.得从而可得原方程的以P为参数的参数形式通解或消参数P.得通解当 时.则消去P.得特解 2； 解 利用微分法得当时.得 从而可得原方程以p为参数的参数形式通解： 或消p得通解 当时.消去p得特解 3解 利用微分法.得 两边积分得由此得原方程以P为参数形式的通解：.或消去P得通解1 用参数法求解下列微分方程1解 将方程化为 令由此可推出 从而得因此方程的通解为 .消去参数t.得通解对于方程除了上述通解.还有.显然和是方程的两个解。2解：令.又令 则积分得.由此得微分方程的通解为.3解：令 则解得 又由此得微分方程的通解为.。习题421得用P判别式求下列方程的奇解：2解：方程的P判别式为消去p.得经验证可知是方程的解。令则有.和因此.由定理4.2可知. 是方程的奇解。2解：方程的P判别式为.消去P.得 .而不是方程的解.故不是方程的奇解。3解：方程的P判别式为.消去P.得.显然是方程的解.令则有和因此.由定理4.2知.是方程的奇解。2举例说明.在定理4.2的条件中的两个不等式是缺一不可的.解：考虑方程方程1的P判别式为消去P.得令.于是有因此虽然有 和但是又虽然是方程的解.且容易求出方程1的通解为因此容易验证却不是奇解。因此由此例可看出。定理4.2中的条件是不可缺少的。又考虑方程 方程2的P判别式为 消去P.得。令于是有. 因此.虽然有和但.而经检验知是方程2的解.但不是奇解。因此由此例可看出定理4.2中的条件是不可缺少的。3研究下面的例子.说明定理4.2的条件是不可缺少的解：方程的P判别式为消去P.得 检验知 不是解.故不是奇解.而虽然是解.但不是奇解。令. 所以虽有但是因此此例说明定理4.2的条件是不可缺少的。习题431试求克莱罗方程的通解及其包络解：克莱罗方程1其中。对方程1求导值由 即时 代入1得1的通解 2它的C判别式为 由此得 .令 故所以 又 由于因此满足定理4.5相应的非蜕化性条件。故是积分曲线族2的一支包络。课外补充1求下列给定曲线族的包络。1解：由相应的C判别式消去C得C判别曲线 它的两支曲线的参数表示式为：.：.对.我们有因此满足定理4.5的相应的非蜕化条件.同理可证.也满足定理4.5的相应的非蜕化条件.故.是曲线族的两支包络线。2解：由相应的C判别式消去C得C判别曲线 它的两支曲线的参数表示式为.对.我们有因此满足定理4.5的相应的非蜕化条件.同理可证.也满足定理4.5的相应的非蜕化条件.故.是曲线族的两支包络线。3. 证：就克莱罗方程来说.P判别曲线和方程通解的C判别曲线同样是方程通解的包络.从而为方程的奇解。证：已知克莱罗方程的形式为 11的通解为 22的包络由 确定.即为 3又知方程1还有解 由此得 . 4而4是方程1的P判别曲线.它和3有相同的形式.因而同样是通解2的包络.消去P得方程1的奇解。 /