集合（知识讲解）一、目标认知学习目标： 1.了解集合的含义，会使用符号“”“”表示元素与集合之间的关系 2.能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法、特征性质描述法和Venn图法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用3.理解集合的特征性质，会用集合的特征性质描述一些集合，如常用数集、解集和一些基本图形的集合等4.理解集合之间包含与相等的含义，能识别一些给定集合的子集在具体情境中，了解空集和全集的含义5.理解两个集合的交集和并集的含义，会求两个简单集合的交集与并集理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集重点、难点： 1.对集合中元素的三要素的应用；2.运用集合的两种常用表示方法-列举法与描述法，正确表示一些简单的集合；3.弄清元素与子集、属于与包含之间的区别；4.集合的交集与并集、补集的概念；5.集合的交集与并集、补集“是什么”，“为什么”，“怎样做”.二、知识要点梳理集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基础，一方面，许多重要的数学分支，都建立在集合理论的基础上.另一方面，集合论及其所反映的数学思想，在越来越广泛的领域中得到应用.知识点一：集合的有关概念1集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西， 并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体.2一般地，研究对象统称为元素(element)，一些元素组成的总体叫集合(set)，也简称集.3关于集合的元素的特征(1)确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则x或者是A的元素，或者不是A的元素， 两种情况必有一种且只有一种成立.(2)互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体(对象)，因此，同一集合中不 应重复出现同一元素.(3)无序性：集合中的元素的次序无先后之分.如：由1，2，3组成的集合，也可以写成由1，3，2组成一 个集合，它们都表示同一个集合.4元素与集合的关系：(1)如果a是集合A的元素，就说a属于(belong to)A，记作aA(2)如果a不是集合A的元素，就说a不属于(not belong to)A，记作5集合的分类(1)空集：不含有任何元素的集合称为空集(empty set)，记作：.(2)有限集：含有有限个元素的集合叫做有限集.(3)无限集：含有无限个元素的集合叫做无限集.6常用数集及其表示非负整数集(或自然数集)，记作N正整数集，记作N*或N+整数集，记作Z有理数集，记作Q实数集，记作R知识点二：集合的表示方法我们可以用自然语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列举法和描述法来表示集合.1.列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内.如：1，2，3，4，5，x2，3x+2，5y3-x，x2+y2，；2.描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号 内.具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.知识点三：集合之间的关系1.集合与集合之间的“包含”关系集合A是集合B的部分元素构成的集合，我们说集合B包含集合A；子集：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集(subset).记作：，当集合A不包含于集合B时，记作AB，用Venn图表示两个集合间的“包含”关系：真子集：若集合，存在元素xB且，则称集合A是集合B的真子集(proper subset).记作：AB(或BA)规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.2.集合与集合之间的“相等”关系，则A与B中的元素是一样的，因此A=B结论：任何一个集合是它本身的子集.知识点四：集合的运算1.并集一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集，记作：AB读作：“A并B”，即：AB=x|xA，或xBVenn图表示：说明：两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有元素组成的集合(重复元素只看成一个元素).2.交集一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集；记作：AB，读作：“A交B”，即AB=x|xA，且xB；交集的Venn图表示：说明：两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B的公共元素组成的集合.3.补集全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U.补集：对于全集U的一个子集A，由全集U中所有不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集(complementary set)，简称为集合A的补集，记作：补集的Venn图表示：说明：补集的概念必须要有全集的限制.4.集合基本运算的一些结论： 若AB=A，则，反之也成立若AB=B，则，反之也成立若x(AB)，则xA且xB若x(AB)，则xA，或xB求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法.三、规律方法指导1.注意和初中数学知识的衔接，这就需要重新整理初中数学知识，形成良好的知识基础，如一元二次方程、二元一次方程组、平面几何中常见的平面图形等在此基础上，再根据本章特点，较快地吸收新知识，形成新的知识结构2.认真理解、反复推敲思考本章各知识点的含义及各种表示方法容易混淆的知识应仔细辨识、区别，达到熟练掌握，逐步建立与集合知识相适应的理论体系与思想方法3.常用的数学思想方法主要有：数形结合的思想，如常借助于数轴、维恩图解决问题；分类讨论的思想，如一元二次方程根的讨论、集合间的包含关系等逐步培养用集合的思想来分析问题、解决问题的能力经典例题透析类型一：集合的概念及元素的性质1下列各组对象中，能构成集合的是（）(1)接近于0的数的全体；(2)比较小的正整数的全体；(3)平面上到坐标点O的距离等于1的点的全体；(4)正三角形的全体； (5)的近似值的全体.思路点拨：从集合元素的“确定”、“互异”、“无序”三种特性判断.解：“接近于0的数”、“比较小的正整数”对象不确定，所以(1)、(2)不是集合，同理(5)也不是集合.(3)、(4)可构成集合，故答案是(3)、(4).举一反三：【变式1】判断下列语句能否确定一个集合？如果能表示一个集合，指出它是有限集还是无限集.(1)申办2008年奥运会的所有城市；(2)举办2008年奥运会的城市；(3)高一数学课本中的所有难题； (4)在2004年12月26日印度洋地震海啸中遇难的人的全体； (5)大于0且小于1的所有的实数.思路点拨：紧扣“集合”、“有限集”、“无限集”的定义解决问题.解：(1)申办2008年奥运会的是几个确定的不同的城市，能组成一个集合，且为有限集；(2)举办2008年奥运会的城市也能组成一个集合，为有限集；(3)不能构成集合.“难题”的概念是模糊的，不确定的，无明确标准，对于一道数学题是否是“难 题”无法客观判断.(4)在2004年12月26日印度洋地震海啸中遇难的人是确定的，不同的，因而能构成集合， 是有限集.(5)大于0且小于1的所有的实数也是确定的，互异的，因此这样的实数能构成一个集合， 是无限集.总结升华：(1)判断一个语句能否确定一个集合，除考虑定义外，还应从集合中元素的“确定性”和“互异性”上来判断；(2)“有限集”和“无限集”是通过集合里面元素的个数来定义的，集合里面元素的个数很多，但不一定是无限集.2比较下列两个集合的差异： （1）A=(x，y)|y=x2， xR， B=y|y=x2， xR；（2）A=x|x2-6x-7=0 B=(x，y)|.解析：(1)集合A是一个点集，是函数y=x2图象上的点的集合；集合B是数集，是由所有实数的完全平方构成的集合.两个集合的元素不同.(2)A=-1，7， B=(-1，7)集合A，B都是方程（组）解的集合，但A中有两个元素-1，7，而B中只有一个元素(-1， 7).类型二：元素与集合的关系3用符号“”或“”填空 (1)0_N；(2)-1_ N；(3)_ Q；(4)_Z；(5)0_；(6)_Q.思路点拨：确定元素是否在集合中，要根据元素是否满足集合的性质来确定.解：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).举一反三：【变式1】用符号“”或“”填空(1)(2)(3)思路点拨：给定一个对象a，它与一个给定的集合A之间的关系为，或者，二者必居其一.解答这类问题的关键是：弄清a的结构，弄清A的特征，然后才能下结论.对于第(1)题，可以通过使用计算器，比较各数值的大小，也可以先将各数值转化成结构一致的数，再比较大小；对于第(2)题，不妨分别令x=3，x=5，解方程；对于第(3)题，要明确各个集合的本质属性.解：(1) (2) 令，则令，则(3) (-1，1)是一个有序实数对，且符合关系y=x2，总结升华：第(1)题充分体现了“化异为同”的数学思想.另外，“见根号就平方”也是一种常用的解题思路和方法，应注意把握.第(2)题关键是明确集合这个“口袋”中是装了些x呢？还是装了些n呢？要特别注意描述法表示的集合，是由符号“”左边的元素组成的，符号“”右边的部分表示x具有的性质.第(3)题要分清两个集合的区别.集合这个“口袋”是由y构成的，并且是由所有的大于或等于0的实数组成的；而集合是由抛物线上的所有点构成的，是一个点集.类型三：集合中元素性质的应用4定义，若M=1，2，3，4，5，N=2，3，6，则N-M=( ) A. M B. N C. 1，4，5 D. 6思路点拨：由的定义可得，在集合N中含有M中的2，3两个元素，而不含有6，故N-M=6，选D。5，则M=( ) A. 2，3 B. 1，2，3，4 C. 1，2，3，6 D. -1，2，3，4解析：集合中的元素满足是整数，且能够使是自然数，所以由aZ，所以-1a4当a=-1时，符合题意；当a=0时