第四节参数方程知识梳理一、参数方程的定义一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数 (*)并且对于t的每一个允许值，由方程组(*)所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么方程(*)就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数相对于参数方程而言，直接给出点的横、纵坐标间关系的方程叫做普通方程二、圆的参数方程圆(xx0)2(yy0)2r2的参数方程为 (为参数)特别地，圆心在原点，半径为r的圆x2y2r2的参数方程是 (为参数)其中参数的几何意义是OM0绕点O逆时针旋转到OM的位置时，OM0转过的角度三、椭圆的参数方程中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆1(ab0)的参数方程是 (为参数)其中参数的范围为0,2)四、双曲线的参数方程中心在原点O，焦点在x轴上的双曲线1的参数方程是 (为参数)其中参数的范围为0,2)，且，注意：sec .基础自测1若直线(t为实数)与直线4xky1垂直，则常数k_.解析：参数方程所表示的直线方程为3x2y70，由此直线与直线4xky1垂直可得1，解得k6.答案：62参数方程 (是参数)表示的曲线的普通方程是_答案：y3(|x|2)3(2013广东卷)已知曲线C的极坐标方程为2cos .以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C的参数方程为_解析：本题考了备考弱点讲参数方程的时候，参数的意义要理解清楚先化成直角坐标方程(x1)2y21，易得曲线C的参数方程为 (为参数)答案： (为参数) / 4. (2013陕西宝鸡三模)已知曲线C的极坐标方程为6sin ，以极点为原点，极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为(t为参数)，则直线l被曲线C截得的线段长度为_解析：曲线C的直角坐标方程为x2y26y0，该曲线是圆，圆心为(0,3)，半径为3；直线l的普通方程为xy10，圆心到直线的距离为d1，所以，直线l被曲线C截得的线段长度为24.答案：4五、抛物线的参数方程开口向右，焦点在x轴上的抛物线y22px(p0)的参数方程是 (t为参数)其中参数t表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数，其范围为t(，)六、直线的参数方程1标准式经过点M0(x0，y0)，倾斜角为的直线的参数方程为 (t为参数)其中，t是直线上的定点M0(x0，y0)到动点M(x，y)的有向线段的数量，即|M0M|t|，当点(x，y)在点(x0，y0)的上方时，t0；当点(x，y)在点(x0，y0)的下方时，t0，当点(x，y)与点(x0，y0)重合时，t0.以上反之亦然于是参数t的绝对值等于直线上的动点M到定点M0的距离 由于直线的标准参数方程中t具有这样的几何意义，所以在解决直线与二次曲线相交的弦长和弦的中点问题时，用参数方程来解决，方便了很多2点斜式 (t为参数)其中，(x0，y0)表示该直线上的一点，表示直线的斜率当a，b分别表示点M(x，y)在x方向与y方向的分速度时，t就具有物理意义时间，相应的at，bt则表示点M(x，y)在x方向，y方向上相对(x0，y0)的位移七、渐开线与摆线的参数方程(了解)1渐开线的参数方程 (为参数)其中r为基圆的半径，为过切点的半径与x轴正方向所成的角2摆线的参数方程 (为参数)其中r为圆的半径，为定点作圆周运动时所转过的角八、参数方程和普通方程的互化1由参数方程化为普通方程(重点)消去参数消参数常用的方法有代入法、加减(或乘除)消元法、三角代换法等消参时应特别注意参数的取值范围对x，y的限制由参数方程化为普通方程一般是唯一的2由普通方程化为参数方程(难点)选参数，参数选法多种多样，所以由普通方程化为参数方程是不唯一的 1(2013湖南卷)在平面直角坐标系xOy中，若直线l1：(s为参数)和直线l2：(t为参数)平行，则常数a的值为_解析： 将两直线方程化为普通方程分别为l1：x2y1，l2：ay2xa，当l1l2时，它们的斜率相等，可得a4.答案： 42(2013江西卷)设曲线C的参数方程为(t为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为_解析：由得曲线C的普通方程为yx2，利用互化公式将yx2化为极坐标方程为sin cos2.答案：sin cos21(2013华南师大附中三模)以平面直角坐标系的原点为极点，并在两种坐标系中取相同的单位长度已知圆C的极坐标方程是4cos ，则它的圆心到直线l：(t为参数)的距离等于_解析：圆C的直角坐标方程为x2y24x0，圆心为C(2,0)，直线l的普通方程为xy10，所以圆心到该直线等距离为d.答案：2(2013湖南十二校二模)设极点与坐标原点重合，极轴与x轴正半轴重合，已知直线l的极坐标方程是：sina，aR，圆C的参数方程是(为参数)，若圆C关于直线l对称，则a_.解析：直线l的直角坐标方程为xy2a0，圆C的圆心为(2，2)，因为圆C关于直线l对称，所以，圆心(2，2)在直线l上，得(2)22a0，解得a2.答案：23已知曲线C的参数方程为 (t为参数)，则过曲线C上横坐标为1的点的切线方程为_解析：曲线C的普通方程为yx21，则切点坐标为，由yx得切线斜率ky|x1，故所求的切线方程为4x9y70.答案：4x9y70 希望对大家有所帮助，多谢您的浏览！