勾股定理题型典型例题： 一、利用勾股定理解决实际问题 例题：水中芦苇 梯子滑动 1、有一个传感器控制的灯，安装在门上方，离地高4.5米的墙上，任何东西只要移至5米以内，灯就自动打开，一个身高1.5米的学生，要走到离门多远的地方灯刚好打开？ 2、如图，公路MN和公路PQ在P点处交汇，点A处有一所中学，AP=160米，点A到公路MN的距离为80米，假使拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到影响，请说明理由；如果受到影响，已知拖拉机的速度是18千米/小时，那么学校受到影响的时间为多少？ 3、如图，南北向MN为我国领海线，即MN以西为我国领海，以东为公海，上午9时50分，我反走私A艇发现正东方向有一走私艇C以每小时6.4海里的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN在线巡逻的我国反走私艇B密切注意，反走私A艇通知反走私艇B时，A和C两艇的距离是20海里，A、B两艇的距离是12海里，反走私艇B测得距离C是16海里，若走私艇C的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？ 二、与勾股定理有关的图形问题 1 已知ABC是边长为1的等腰直角三角形，以RtABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰RtACD，再以RtACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰RtADE，依此类推，第n个等腰直角三角形的斜边长是 EF D CG BA2如图，直线l经过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线l的距离分别是1、2，则正方形的边长是_ _ 3在直线上依次摆着七个正方形(如图)，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1，2，3，正放置的四个正方形的面积是S1，S2，S3，S4，则S1S2S3S4_ _ 4如图，ABC中，C90， (1)以直角三角形的三边为边向形外作等边三角形(如图)，探究S1S2与S3的关系； (2)以直角三角形的三边为斜边向形外作等腰直角三角形(如图)，探究S1S2与S3的关系； (3)以直角三角形的三边为直径向形外作半圆(如图)，探究S1S2与S3的关系 图 图 图 5如图，设四边形ABCD是边长为1的正方形，以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以第二个正方形的对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，记正方形ABCD的边长a1=1，依上述方法所作的正方形的边长依次为a1，a2，a3，an，根据上述规律，则第n个正方形的边长an_ _记正方形ABCD的面积S1为1，按上述方法所作的正方形的面积依次为S2，S3，Sn(n为正整数)，那么Sn_ _ 6、如图，RtABC中，C=90，AC=2，AB=4，分别以AC、BC为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为 1 三、关于翻折问题 1、如图，折叠矩形纸片ABCD，先折出折痕BD，再折叠，使AD落在对角线BD上，得折痕DG，若AB = 2，BC = 1，求AG. D C A1 A G B 2、如图，把矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B落在点E处，EC与AD相交于点F. 求证：FAC是等腰三角形； E若AB=4，BC=6，求FAC的周长和面积. AFD BC3、如图，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F点处，已知CE=6cm，AB=16cm，求BF的长 AD E B FC 4、如图，一张矩形纸片ABCD的长AD=9，宽AB=3。现将其折叠，使点D与点B重合。求折叠后BE的长和折痕EF的长。 5、矩形纸片ABCD的边长AB=4，AD=2将矩形纸片沿EF折叠，使点A与点C重合，折叠后在其一面着色，求着色部分的面积。 G D F F C A E B 6、如图，矩形纸片ABCD的边AB=10cm，BC=6cm，E为BC上一点，将矩形纸片沿AE折叠，点B恰好落在CD边上的点G处，求BE的长. 7如图，AD是ABC的中线，ADC=45，把ADC沿直线AD翻折，点C落在点C的位置，BC=4,求BC的长. 五、 2 四、关于最短性问题 1：如图1，长方体的长为12cm，宽为6cm，高为5cm，一只蚂蚁沿侧面从A点向B点爬行，问：爬到B点时，蚂蚁爬过的最短路程是多少？ 5、如图，一个高18m，周长5m的圆柱形水塔，现制造一个螺旋形登梯，为减小坡度，要求登梯绕塔环绕一周半到达顶端，问登梯至少多长？(建议：拿张白纸动手操作，你一定会发现其中的奥妙) 6、有一圆柱形食品盒，它的高等于16cm，底面直径为20cm， 蚂蚁爬行的速度为2cm/s. 2、如图壁虎在一座底面半径为2米，高为4米的油罐的下底边沿A处，它发现在自己的正上方油罐上边缘的B处有一只害虫，便决定捕捉这只害虫，为了不引起害虫的注意，它故意不走直线，而是绕着油罐，沿一条螺旋路线，从背后对害虫进行突然袭击请问壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害虫? 3：如图为一棱长为3cm的正方体，把所有面都分为9个小正方形，其边长都是1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从下地面A点沿表面爬行至右侧面的B点，最少要花几秒钟？ 4.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相 对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物.请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬8、如图，一圆锥的底面半径为2，母线PB的长为6，D为PB的中点一只蚂蚁从点A出发，沿着到B点，最短线路是多少？ 圆锥的侧面爬行到点D，则蚂蚁爬行的最短路程为 A 5 3 1 B 3 如果在盒内下底面的A处有一只蚂蚁，它想吃到盒内对面中部点B处的食物，那么它至少需要多少时间? (盒的厚度和蚂蚁的大小忽略不计，结果可含) B A 如果在盒外下底面的A处有一只蚂蚁，它想吃到盒内对面中部点B处的食物，那么它至少需要多少时间? (盒的厚度和蚂蚁的大小忽略不计，结果可含) B A 7：如图，圆锥的侧面展开图是半径为22cm的半圆，一只蚂蚁沿圆锥侧面从A点向B点爬行，问：爬到B点时，蚂蚁爬过的最短路程；当爬行路程最短时，求爬行过程中离圆锥顶点C的最近距离 五、关于勾股定理判定三角形形状 1、已知，ABC中，AB=17cm，BC=16cm，BC边上的中线AD=15cm，试说明ABC是等腰三角形。 2：已知ABC的三边a、b、c，且a+b=17，ab=60，c=13, ABC是否是直角三角形？你能说明理由吗？ 3、如图，在RtABC中，ACB=90，CDAB于D，设AC=b，BC=a，AB=c，CD=h 试说明：；a+bc+h；判断以a+b、h、c+h为边的三角形的形状，并说明理由 4、在等腰直角三角形ABC的斜边AB上取两点M,N，使MCN=45，记AM=m，MN=x，BN=n。试判断以x，m，n为边长的三角形的形状。 CAMNB六、关于旋转中的勾股定理的运用： 1、如图，ABC是直角三角形，BC是斜边，将ABP绕点A逆时针旋转后，能与ACP重合，若AP=3，求PP的长。 APP BC 变式1：如图，P是等边三角形ABC内一点，PA=2,PB=23,PC=4,求ABC的边长. 分析： 利用旋转变换，将BPA绕点B逆时针选择60，将三条线段集中到同一个三角形中，根据它们的数量关系，由勾股定理可知这是一个直角三角形. 七、关于勾股定理的相关证明 1、如图，在ABC中，AB=AC,P为BC上任意一点，求证:AB2-AP2=PBPC 分析：考虑构造直角三角形，能利用勾股定理. 2，如图，在ABC中，BAC=90，AB=AC，D是BC上的点求证： BD2+CD2= 2AD2. 4 八、综合题 1、已知RtABC中，ACB=90，CA=CB，有一个圆心角为45，半径的长等于CA的扇形CEF绕点C旋转，且直线CE，CF分别与直线AB交于点M，N 当扇形CEF绕点C在ACB的内部旋转时，如图1，求证：MN2=AM2+BN2； 当扇形CEF绕点C旋转至图2的位置时，关系式MN2=AM2+BN2是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由 2、如图，已知反比例函数的图象与一次函数y=k2x+b的图象交于A，B两点，A， B 求反比例函数和一次函数的解析式； 在x轴上是否存在点P，使AOP为等腰三角形？若存在，请你直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由 5