排列组合专题复习及经典例题详解1. 学习目标掌握排列、组合问题的解题策略2. 重点(1) 特殊元素优先安排的策略：(2 )合理分类与准确分步的策略；(3) 排列、组合混合问题先选后排的策略；(4 )正难则反、等价转化的策略；(5)相邻问题捆绑处理的策略；(6 )不相邻问题插空处理的策略.3. 难点综合运用解题策略解决问题.4. 学习过程：(1)知识梳理1 分类计数原理(加法原理)：完成一件事，有几类办法，在第一类办法中有m,种不同的方法，在第2类办法中有 m2种不同的方法在第 n类型办法中有 mn种不同的方法， 那么完成这件事共有 N mj m2 . mn种不同的方法.2 分步计数原理(乘法原理)：完成一件事，需要分成 n个步骤，做第1步有mj种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，做第 n步有mn种不同的方法；那么完成这件事共有N 叶 m2. mn种不同的方法.特别提醒:分类计数原理与“分类”有关，要注意“类”与“类”之间所具有的独立性和并列性；分步计数原理与“分步”有关，要注意“步”与“步”之间具有的相依性和连续性，应用这两个原理进行正确地分类、分步，做到不重复、不遗漏.3排列：从n个不同元素中，任取 m(mc n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出 m个元素的一个 排列，m n时叫做选排列，m n时叫做全排列.4. 排列数：从n个不同元素中，取出 m(mc n)个元素的所有排列的个数，叫做从 n个不同 元素中取出m个元素的排列数，用符号 Pnm表示.n I5排列数公式：Pnm n(n 1)(n 2).(n m 1)丄一 (m n,n、m N )(n m)!排列数具有的性质：Pnm1Pnm mPnm 1特别提醒：规定0!=16. 组合：从n个不同的元素中，任取 m（mc n）个不同元素，组成一组，叫做从 n个不同元素中取m个不同元素的一个组合.7. 组合数：从n个不同元素中取 m（mc n）个不同元素的所有组合的个数，叫做从 n个不同元素中取出m个不同元素的组合数，用符号 Cnm表示.& 组合数公式：Cnm 兰 n（n 1）（n 2）.（n m。nP1m!m! （n m）!组合数的两个性质：w cnm :cm, cm cm1特别提醒：排列与组合的联系与区别.联系：都是从n个不同元素中取出m个元素.区别：前者是“排成一排”，后者是“并成一组”，前者有顺序关系，后者 无顺序关系典型例题考点一：排列问题例1.六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？（1）甲不站两端；（2）甲、乙必须相邻；（3）甲、乙不相邻；（4）甲、乙之间间隔两人；（5）甲、乙站在两端；（6）甲不站左端，乙不站右端.【解析】：（1）方法一：要使甲不站在两端，可先让甲在中间4个位置上任选1个，有p4种站法，然后其余5人在另外5个位置上作全排列有P55种站法，根据分步乘法计数原理，共有站法：P4P；480（种）方法二：由于甲不站两端，这两个位置只能从其余 5个人中选2个人站，有P52种站法，然后中间4人有P44种站法，根据分步乘法计数原理，共有站法：P52P44 480（种）6c方法三：若对甲没有限制条件共有P6种站法，甲在两端共有 2P5种站法，从总数中减去这两种情况的排列数，即共有站法：P66 2P55 480（种）（2 ）方法一：先把甲、乙作为一个“整体”，看作一个人，和其余4人进行全排列有 P；种站法，再把甲、乙进行全排列，有P22种站法，根据分步乘法计数原理，共有P55P22 240（禾申） 方法二：先把甲、乙以外的4个人作全排列，有 P44种站法，再在5个空档中选出一个供甲、 乙放入，有P5种方法，最后让甲、乙全排列，有P2种方法，共有P4 P5P2240（种）（3）因为甲、乙不相邻，中间有隔档，可用“插空法”，第一步先让甲、乙以外的4 个人站队，有P4种站法；第二步再将甲、乙排在 4人形成的5个空档（含两端）中，有 P52种站 法，故共有站法为 P44 P52480（种）此外，也可用“间接法”，6个人全排列有P6种站法，由（2）知甲、乙相邻有P55 P22 240 种站法，所以不相邻的站法有 P66 P55 P22 720 240 480（种） .（4）方法一：先将甲、乙以外的4个人作全排列，有P44种，然后将甲、乙按条件插入站队， 有 3P22 种，故共有 P44 （3 P22） 144（种）站法 .方法二：先从甲、乙以外的4个人中任选2人排在甲、乙之间的两个位置上，有 P42种,然后把甲、乙及中间2人看作一个“大”元素与余下2人作全排列有F33种方法，最后对甲、乙进行排列，有P22种方法，故共有P42P33P22 144（种）站法（5） 方法一：首先考虑特殊元素，甲、乙先站两端，有P；种，再让其他4人在中间位置作全排列，有P：种，根据分步乘法计数原理，共有P22P44 48（种）站法.2方法二：首先考虑两端两个特殊位置，甲、乙去站有P2种站法，然后考虑中间 4个位置，由剩下的4人去站，有P44种站法，由分步乘法计数原理共有 P22 P44 48（禾申）站法.（6）方法一：甲在左端的站法有 P55种，乙在右端的站法有 P55种，甲在左端而且乙在右端的站法有P44种，故甲不站左端、乙不站右端共有P66-2 P55 + P44 =504 （种）站法.方法二：以元素甲分类可分为两类：甲站右端有R5种站法，甲在中间 4个位置之一，1 1 451 1 4而乙又不在右端有 P4 P4 P4种，故共有 Ps + P4 P4 Pl =504 （种）站法考点二 : 组合问题例2.男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1人选派5人外出比赛 在下列情形中各有多少种选派方法？（1）男运动员 3名，女运动员 2名；（2）至少有 1 名女运动员；（3）队长中至少有 1 人参加；（4）既要有队长，又要有女运动员 .【解析】：（ 1）选法为 C63C42120（种）.（2）方法一：至少 1名女运动员包括以下几种情况： 1女 4男，2女 3男，3女 2男，4女 1男.由分类计数原理可得总选法数为 C41C64 C42C63 C43C62 C44C61 246（种）. 方法二：因“至少 1 名女运动员”的反面为“全是男运动员”，故可用间接法求解.从io人中任选5人有C；。种选法，其中全是男运动员的选法有 c6种.所以“至少有 1 名女运动员”的选法 C150 C65 246（种）.（3）方法一：可分类求解：“只有男队长”的选法为 c8 ； “只有女队长”的选法为 c8 ； “男、女队长都入选”的选法为C3 ;所以共有2C；+C；=196 （种）选法.方法二：间接法：从io人中任选5人有c5种选法.其中不选队长的方法有 c8种.所以“至少1名队长”的选法为 C5o- Cs=196种.（4）当有女队长时，其他人任意选，共有 C94 种选法；不选女队长时， 必选男队长， 共有 C8 种选法， 而且其中不含女运动员的选法有 C5 种，所以不选女队长时的选法共有 c8 c4种选法.所以既有队长又有女运动员的选法共有 C94 （c； C54） i9i种.考点三 : 综合问题例 3.4 个不同的球， 4 个不同的盒子，把球全部放入盒内 .（1）恰有i个盒不放球，共有几种放法？（2）恰有 i 个盒内有 2 个球，共有几种放法？（3）恰有 2 个盒不放球，共有几种放法？【解析】：（i）为保证“恰有i个盒不放球”，先从 4个盒子中任意取出去一个，问题转 化为“4个球， 3个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”即把4 个球分成 2， i，i 的三组，然后再从 3个盒子中选 i 个放 2个球，其余 2个球放在另外 2个盒子内，由分步 乘法计数原理，共有 C4C：C3P22i44种；（2）“恰有 i 个盒内有 2 个球”，即另外 3个盒子放 2个球，每个盒子至多放 i 个球，也 就是说另外 3 个盒子中恰有一个空盒， 因此， “恰有 i 个盒内有 2 个球”与“恰有 i 个盒不 放球”是同一件事，所以共有 i44种放法.（3）确定2个空盒有C：种方法；4个球放进2个盒子可分成（3，i ）、（ 2，2）两类：第一类有序不均匀分组有 C43CiiP228 种方法；第二类有序均匀分组有c4c2P2p26种方法.故共有 c(c43c11p22c2cP22P22)84 种.当堂测试1. 从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队， 要求其中男、女医生都有, 则不同的组队方案共有（）A.70 种B.80 种C.100 种D.140 种【解析】：分为2男i女，和i男2女两大类，共有 c；c： c；c： 70种.解题策略：合理分类与准确分步的策略.2. 2020年北京奥运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分 别从事司机、导游、翻译、礼仪四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其 余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（）A.48 种B.12 种C.18 种D.36 种【解析】：合理分类，通过分析分为（1）小张和小赵恰有1人入选，先从两人中选 1人，然后把这个人在前两项工作中安排一个，最后剩余的三人进行全排列有c；c2b324种选法.（2）小张和小赵都入选，首先安排这两个人做前两项工作有F22 2种方法，然后在剩余的3人中选2人做后两项工作，有P33 6种方法.故共有C2C；P33 P22P33 36种选法.解题策略：特殊元素优先安排的策略. .合理分类与准确分步的策略. .排列、组合混合问题先选后排的策略.3. 从0, 1, 2, 3, 4, 5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位 数的个数为（）A.48B.12c.180D.162【解析】：分为两大类：（1）含有0，分步：从另外两个偶数中选一个，有c；种方法，2.从3个奇数中选两个，有C3种方法；.给0安排一个位置，只能在个、十、百位上选, 有C3种方法；.其他的3个数字进行全排列，有 P33种排法，根据乘法原理共有C；C；c3P33 108种方法.（2）不含0,分步：偶数必然是 2和4 ；奇数有C；种不 同的选法，然后把 4个元素全排列，共 P44种排法，不含0的排法有C；P44 72种根据加法原理把两部分加一块得108+72=180个4. 甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有 6名男同学，2名女同学若从甲、乙两组中各 选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（）A.150 种 B.180 种 C.300 种 D.345 种 【解析】： 4 人中恰有 1 名女同学的情况分为两种，即这 1 名女同学或来自甲组，或来自乙 组，则所有不同的选法共有 C51C31C62 C52C61C12 345 种选法解题策略： 合理分类与准确分步的策略5. 甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2门，则甲、乙所选的课程中至少有 1 门不相同的选法共 有( )A.6 B.12 C.30 D.36 【解析】：法一：甲、乙所选的课程中至少有 1 门