2019学年北师大版数学精品资料选修2-2第三章习题课：导数的应用一、选择题1下列函数中在区间(1,1)上是减函数的是()Ay23x2BylnxCyDysinx解析：对于函数y，其导数y0，且函数在区间(1,1)上有意义，所以函数y在区间(1，1)上是减函数，其余选项均不符合要求，故选C.答案：C2函数yf(x)的定义域为R，导函数yf(x)的图像如图所示，则函数f(x)()A无极大值点，有四个极小值点B无极小值点，有四个极大值点C有两个极大值点，两个极小值点D有三个极大值点，一个极小值点解析：f(x)0的根分别如题图a、c、e、g.x0，axc时f(x)0，a为极大值点又cx0知c为极小值点，exg时，f(x)0知e为极大值点，g0知g为极小值点故选C.答案：C3若x2与x4是函数f(x)x3ax2bx的两个极值点，则有()Aa2，b4Ba3，b24Ca1，b3Da2，b4解析：f(x)3x22axb，依题意有x2和x4是方程3x22axb0的两个根，所以有24，24，解得a3，b24.答案：B4函数f(x)x2cosx在区间，0上的最小值是()AB2CD1解析：f(x)12sinx，x，0，sinx1,0，2sinx0,2f(x)12sinx0在，0上恒成立f(x)在，0上单调递增f(x)min2cos().答案：A5若f(x)x3ax24在(0,2)内单调递减，则实数a的取值范围是()Aa3Ba3Ca3D0a3解析：f(x)3x22ax，f(x)在(0,2)内递减，a3，故选A.答案：A62013湖北高考已知a为常数，函数f(x)x(lnxax)有两个极值点x1，x2(x10，f(x2)Bf(x1)0，f(x2)0，f(x2)Df(x1)解析：f(x)lnx2ax1，依题意知f(x)0有两个不等实根x1，x2.即曲线y11lnx与y22ax有两个不同交点，如图由直线yx是曲线y1lnx的切线，可知：02a1，且0x11x2.a(0，)由0x11，得f(x1)x1(lnx1ax1)0，当x1x0，当xx2时，f(x)f(1)a，故选D.答案：D二、填空题7函数f(x)x33x21在x_处取得极小值解析：由f(x)3x26x0，解得x0或x2.列表如下：x(，0)0(0,2)2(2，)f(x)00f(x)极大值极小值当x2时，f(x)取得极小值答案：28设p：f(x)lnx2x2mx1在(0，)上是递增的，q：m4，则p是q的_条件解析：f(x)lnx2x2mx1在(0，)上是递增的，可知在(0，)上f(x)4xm0恒成立，而4x4，当且仅当x时等号成立，(4x)min4，故只需要4m0，即m4即可故p是q的充要条件答案：充要9方程30的解有_个(填数字)解析：设f(x)3，x(0，)，则f(x)0，f(100)1030)(1)求f(x)的单调区间；(2)求所有实数a，使e1f(x)e2对x1，e恒成立注：e为自然对数的底数解：(1)因为f(x)a2lnxx2ax，其中x0，所以f(x)2xa.由于a0，所以f(x)的增区间为(0，a)，减区间为(a，)(2)由题意得，f(1)a1e1，即ae，由(1)知f(x)在1，e内单调递增，要使e1f(x)e2对x1，e恒成立，只要解得ae.122013辽宁高考已知函数f(x)(1x)e2x，g(x)ax12xcosx.当x0,1时，(1)求证：1xf(x)；(2)若f(x)g(x)恒成立，求实数a的取值范围解：(1)证明：要证x0,1时，(1x)e2x1x，只需证明(1x)ex(1x)ex.记h(x)(1x)ex(1x)ex，则h(x)x(exex)，当x(0,1)时，h(x)0，因此h(x)在0,1上是增函数，故h(x)h(0)0.所以f(x)1x，x0,1要证x0,1时，(1x)e2x，只需证明exx1.记K(x)exx1，则K(x)ex1，当x(0,1)时，K(x)0，因此K(x)在0,1上是增函数，故K(x)K(0)0.所以f(x)，x0,1综上，1xf(x)，x0,1(2)法一：f(x)g(x)(1x)e2x(ax12xcosx)1xax12xcosxx(a12cosx)，设G(x)2cosx，则G(x)x2sinx.记H(x)x2sinx，则H(x)12cosx，当x(0,1)时，H(x)0，于是G(x)在0,1上是减函数，从而当x(0,1)时，G(x)3时，f(x)g(x)在0,1上不恒成立f(x)g(x)1ax2xcosxax2xcosxx(a2cosx)，记I(x)a2cosxaG(x)，则I(x)G(x)，当x(0,1)时，I(x)3时，a30，所以存在x0(0,1)，使得I(x0)0，此时f(x0)0，于是G(x)在0,1上是增函数，因此当x(0,1)时，G(x)G(0)0，从而F(x)在0,1上是增函数，因此F(x)F(0)0，所以当x0,1时，1x2cosx.同理可证，当x0,1时，cosx1x2.综上，当x0,1时，1x2cosx1x2.因为当x0,1时，f(x)g(x)(1x)e2x(ax12xcosx)(1x)ax12x(1x2)(a3)x，所以当a3时，f(x)g(x)在0,1上恒成立下面证明，当a3时，f(x)g(x)在0,1上不恒成立因为f(x)g(x)(1x)e2x(ax12xcosx)1ax2x(1x2)(a3)xxx(a3)，所以存在x0(0,1)(例如x0取和中的较小值)满足f(x0)g(x0)，即f(x)g(x)在0,1上不恒成立综上，实数a的取值范围是(，3