空间点阵型式：14种布拉维格子-兰州大学结构化学在七大晶系基础上，如果进一步考虑到简单格子和带心格子，就会产生14种空 间点阵型式，也叫做14种布拉维格子.不过，格子是否带心并不能从宏观上发 现，所以，空间点阵型式属于微观对称性的范畴.为什么要考虑带心格子呢？原因是：有些点阵中的格子，如果取成某 种复格子就能充分表现出它固有的较高对称性，但若取成素格子，某些对称性就 可能被掩盖，表现为较低的对称性.我们宁愿观察一个高对称性的复格子，也不 愿观察一个低对称性的素格子.所以，选取正当格子时，首先照顾高对称性， 其次才考虑点阵点尽可能少.前面以NaCl型晶体的格子为例讲过，若取素格子，只能表现三方对称 性（这是一种三方R，现已不用）；若取作立方面心复格子，就表现出了立方对称性.当然，这并不是说格子的选取方式能够改变点阵本身的对称性，只是说, 点阵固有的较高对称性，在素格子上被掩盖而不易表现出来.图6-42 NaCl型晶体的立方面心复格子（正当格子）与素格子 那么，任何点阵都能通过取带心格子表现出更高 的对称性吗？否！例如，在三斜晶体的点阵中，无论取多少点，格子的对称性 也仍是三斜.我们当然不去徒劳无益地选择带心格子.下面给出在七大晶系基础上进一步考虑简单和带心格子所产生的14种 空间点阵型式，即14种布拉维格子：图6-43 14种空间点阵型式（布拉维格子）对于以上两种六方格子需要特别说明几点：（1）图中只有蓝色线条围成的部分才是六方格子，而灰白 色部分只是为了便于观察其对称性才画出的，因为六方格子也必须是平行六面体 而不能是六棱柱；（2）六方晶系的晶体按六方晶胞表达只能抽象出六方简单（hP） 格子，而三方晶系的晶体按六方晶胞表达时则能抽象出六方简单（hP）和六方R心(hR)两种格子，有时为了清楚起见，分别称之为“三方晶系的六方简单(hP) 格子”和“三方晶系的六方R心(hR)格子”.换言之，六方R心(hR)格子实 际上只用于三方晶系，而六方简单(hP)格子既用于六方晶系，也用于三方晶系, 所以只算一种格子.(3)晶系是在实在的物理基础上划分的，所以，尽管三方 晶系的两种格子一一六方简单(hP)和六方R心(hR)的形状都与六方晶系的六方 简单(hP)格子相同(即hP是两个晶系共用的)，但真实的三方晶体中只有三次 对称轴而没有六次对称轴，只有六方晶体才有六次对称轴.你能否发明更多的“布拉维格子”？例如：四方面心、四方底心?立方底心?或除去立方面心上相对的两个面心？下图(a)表明：所谓的四方C心其实应当是四方简单；图(b)表明：所复原，所以，它不但丧失了作为立方格子的资格，而且丧失了作为点阵的资格!(b)假想的四方面心图 6-44(c)立方F谓的四方面心其实其实应当是四方体心；图(c)表明:立方F被除去相对两个面心 后，不仅沿体对角线的4条三重对称轴不复存在，而且沿图中箭头平移时再不能(a)假想的四方C心 失去相对两个面心6.4.6 32个晶体学点群分子的对称操作的集合构成分子点群.同理，晶体的宏观对称操作 也是点操作，所有宏观对称元素也会通过一个公共交点按一切可能组合起来，产 生晶体学点群.不过，既然晶体中的宏观对称元素只有8种，晶体学点群数目也 必然受到限制.可以证明晶体学点群只有32种.晶体学点群可以用所谓的熊夫利(Schonflies)符号表示，也可以用国际 符号表示，还有一种称之为“极射赤面投影图”的图形表示法.Schonflies符号由德国结晶学家Schonflies创造，我们在分子点群中已经用过，不过，由于轴次定理的限制，晶体学点群的Schonflies符号不 会出现C、Dh等符号.国际符号是尚未见过的新符号，需要作一简要介绍.5晶体学点群的国际符号一般由三个位构成，每个位代表与特征对称元素 取向有一定联系的方向.所以，任何一位代表的方向随晶系不同而可能不同. 右表列出七种晶系中国际符号的三个位的方向.平行于某个方向的对称轴和/或垂直于该方向的对称面就标记在相应的位上.表6-5国际符号三个位的方向例如，立方晶系的三个位依次为a、a+b+c、a+b，由矢量加法可知，它们分别是正方体的棱、体对角线、面对布线方 向.将各方向上的对称元素依次标记在相应的位上，就是某个点群的国际符号.例如，立方晶系的点群共有五个，用Schonflies符号分别标记为T, TO, Td , Oh ,国际符号是：23,现3, 432, 43m, m3m尽管立方晶系的国际符号规定了三个位，但23和m3点群属于四面体群，a+b位上 没有对称元素， 故只列出前两个位的对称元素.晶体学点群命名示意：NaCl型晶体NaCl型晶体的晶体点群与正方体的对称性相同，为m3m（Schonflies符号为O.不妨先观察一下正 方体，可以看出：（1）垂直于a的方向有镜面；（2）平行于体对角线方向有3次对 称轴；（3）垂直于面对角线方向有镜面.NaCl型晶体在相应的方向上也有这些对 称性，所以，晶体点群的国际符号为m3m（Schonflies符号为Oh）.可能有读 者问：这些方向上还有别的对称元素，为什么只标记这样少数几个呢？这正是国 际符号的奥妙之处，它要尽可能紧凑，同一方向上不止一种对称元素时，按一定 规则选取最必要者标出.图6-45 NaCl型晶体的晶体点群与正方体的对称性相同，为m3m（Oh）事实上，国际符号又分为简略符号与完全符号.例如，m3m是简略符号，是完全符号，但这简略符号已经包含了所有最必要的对称元素,如果需要的话，由这些对称元素出发，根据群论的组合原理就能导出 点群中所有的对称元素.因此，很少使用完全符号.而且，即使完全符号也并不 列出点群中所有的对称元素.现在，读者一定也明白为什么分子点群只用Schonflies符号，而不用 国际符号的原因了吧？分子中没有晶轴的概念，国际符号的“位”对于分子根本 没有意义.应当特别注意：晶体的点群是针对真实的晶体而言，而不能仅仅针对只 具有抽象几何意义的空间点阵和布拉维格子来划分.晶体只有七个晶系，却有 32个点群，所以，必然会有多个点群属于同一个晶系的现象.例如，属于立方 晶系的点群共有五个，用Schonflies符号分别标记记为T, Th, O, Td , Oh ,国23j e3, 432j际符号分别是抽象的空间点阵和布拉维格子的格点上没有放上真实的结构基元.所以，如果仅从布拉维格子看，任一种晶系的布拉维格子都有该晶系的最高对称性，即属于该晶系的全点群，立方晶 系的全点群就是Oh ；但真实晶体却必须在格点上放上结构基元，于是，对称性 就可能从全点群下降（至多保持不变），这样一来，任一种晶系的真实晶体的对 称性就未必能继续保持在该晶系的全点群，也许只能属于该晶系对称性较低的 点群，称为偏点群.任何晶系的偏点群都是其全点群的子群.许多初学者有这样一个常见问题：为什么将立方晶系的特征对称元素规定为沿正方体四条体对角线的3,而不是穿过 正方体相对面心的三条4? 4的对称性不是更高吗？难道属于立方晶系的晶体还 不都具有三条4?事实是，属于立方晶系的晶体确实不一定都具有三条4 !例如，NaCl型晶体属于Oh点群，它既有三条4 ,也有四条3 ;而立 方ZnS型晶体则不然，它属于Td点群，具有四条3,却没有三条4.这两类晶体 共有的对称元素是四条3,也就是立方晶系的特征对称元素.晶体学点群还有一种图形表示法，称为极射赤面投影图.其基本思想 是利用立体仪把球面上的点投影到赤道平面上，化立体为平面.先模仿地球仪按如下步骤造一个立体仪：1.取一个单位圆球作为投影 球S; 2.取赤道平面作为投影面Q,与S交成投影圆；3.以垂直于Q并通过球心 O的极轴作为投影轴，两端分别为北极N和南极S.表6-6 32个晶体学点群 图6-46 NaCl型与立方ZnS型晶体 图6-47立体仪用极射赤面投影图描述晶体学点群时，通常对每个点群画出两个投影图.以m3m为例，下图(a)表示晶体对称元素的投影，图(b)表示球上一 组点的投影图，这组点是从某一个普通的点开始，利用所有对称操作复制出来 的，也反映点群对称性.有的文献将这两种图合并在一起，如图(c):我们以晶体对称元素为例，简要介绍立体仪投影法.首先，将晶体对称元素系的公共交点置于投影球心O,从球心向各晶 面引垂线(即晶面法线)并交于投影球，在球面上形成一组点的分布.由于这些 晶面法线是晶体的各种对称轴，所以，这组点就构成了晶体对称轴的球面投影. 类似地，晶体的对称面也可延伸至投影球，与球面相交成圆.所以，除了对称 中心处于球心，不会在投影球面上形成点以外，晶体的各种对称轴和对称面都 可以在投影球上形成球面投影.图6-48 m3m的极射赤面投影图在此基础上，利用立体仪投影法，把球面上的点进一步投影到赤道平面上：设北半球球面上有一个点P，过P点向 南极连线成PS，与赤道平面交于P点，就在P处画一个点；反之，若南半球 球面上有一点R，过R点向北极连线成RN，与赤道平面交于R点，就在R处 画一个空心圆圈，以区别于北半球球面上点的投影(图中未画出)：晶体对称面在投影球面上相交成圆，而圆又可以被看作无数点的集合. 既然球面上每个点都能产生赤面投影，对称面当然也能表示在极射赤面投影图 上.关于极射赤面投影更详细的介绍，可以参考晶体学的有关书籍.图6-49极射赤面投影原理