常青藤实验中学2013届高三理科数学研究性学习（9） 专题六：函数单调性和奇偶性若干问题研究探究一：函数性质（单调性、奇偶性）定义经典试题1. 对于定义在上的函数，给出三个命题：（1）若，则是偶函数；（2）若，则不是偶函数；（3）若，则一定不是奇函数.其中正确命题的序号为_2. 下列命题中，说法正确的是_（1）若定义在上的函数满足，则函数是上的单调增函数；（2）若定义在上的函数满足，则函数不是上的单调减函数；（3）若定义在上的函数在区间上是单调增函数，在区间上也是单调增函数，则函数是上的单调增函数；（4）若定义在上的函数在区间上是单调增函数，在区间上也是单调增函数，则函数是上的单调增函数；3. 已知是定义在上的奇函数，若，且时，恒有.（1）判断在上是增函数还是减函数，并证明你的结论；（2）解不等式探究二：抽象函数的单调性和奇偶性问题抽象函数的具体模型 类型一：抽象函数证明函数的奇偶性问题 ，满足，如何证明为奇函数？ ，满足，如何证明为偶函数？类型二：抽象函数证明函数的单调性问题 若且、证明其单调性 若、证明其单调性例：设是定义在上的函数，对恒有，且当时，.（1）求证：；（2）证明：时恒有；（3）求证：在上是减函数；（4）若，求的取值范围变式：若定义在上的函数对任意的都有成立，且当时，（1）求证：是奇函数；（2）求证：是上的增函数；（3）若求的取值范围.探究三：函数的对称性和周期性函数的周期性（写出满足下列条件的正周期，其中）、 、函数的对称性（满足下列条件的函数对称性如何？）、 推广：、推广：结论：设为函数的对称中心，则必有等式_例1：写出函数的一个对称中心为_例2：已知奇函数的图像关于直线对称，当时，则例3：（山东高考）已知定义在上的奇函数满足，且在区间上是增函数.若方程在区间上有四个不同的根，则变式：定义在上的偶函数满足，且在上是增函数，给出下列关于的判断：（1）是周期函数；（2）关于直线对称；（3）在上是增函数；（4）在上是减函数；（5）.其中正确命题的序号为_