法国数学家傅立叶提出，任何周期函 数都可以表示为不同频率的正弦或余弦的 和的形式。傅氏级数；对于非周期函数，则用正弦和余弦及 加权函数的积分来蔻示。f傅氏雯换；应用极为广泛，尤其是数字计算和快 速算出的发朗，在信号处理领域产生了具 大变革。维傅立叶变换及其反变换F)=巴 f(x)ej2tTUXdxF(x) = fX f(u)ej2jruxdF(u, v)二匕巴 f(x, y)ej2jr(ux+vy)dxdyF(x, y)=匕匕 f(u, v)ej27lux+vydudvM-1/（兀）=工尸（比）/2观皿w=0富散形式：i M-lM住u 0丄2M 1x = 0,1,2 M 1频域f不同的频域成份，可以表示成 极坐标(复教J形式：F(w) = |F(w)|(H)|F(m)| = |7?2(m) + 2(w)0(u) = arctgFIGURE 4Hi Fourier s idea i of sincs and cc功率谱P(w) = |F(m)|2=7?2(w)4- /2(w)“谱密度”信号频谱分析示意图 如右图所75：wwwvwwwwwwwmle iunction at the botiom is the sum of the lour lunclions above ii. in 1807 that periodic functions coukl be represented as a weighted sum moos was met with skepticism.二维DFT及其反变换1MNM- N工于（兀y）幺7叽呦小x=0 y=0u = 012M1u = 012 N-1M- N/（3）= F，冈曲/g皿）w=0 v=0x 0.1.2M 1y = 012N 1功率谱：P(w,v) = |F(w,v)|2 = 7?2(w,v) + /2(w,v)可以证明：可心刃(1)仔弘_号 _ )原点被放置在空间域和频率域抽样点之间的关糸:Aw =MArAv =NAy心)a bc dFIGURE 4.2 (a) A discrete function uf M points, and (b) its Fourier spectrum, (c) A discrete function with twice llie number of nonzero points, and (d) its Fourier speclrum./Cv)下图卖例:中心化，矩形宽高化为2 : 1反映到频域轴亮A问距恰好相反a bFIGURE 4.3(a) lmae of a 20 X 40 while rectangle on a black background of size 512 x 512 pixels(b) Centered Fourier spectrum shown cifler applicationof the log transformation given in Eq. (3.2-2). Compare with Fig. 42.3频率域滤波般不大可能 建立图像特走分量 和其变换之间的直 接朕糸，但可以建 立傅氏变换的频率 图像中的强度变化 模式之间的朕糸。例如，低频对 应图像的慢变化分 量（墙，地板丿, 而當频分量对应着 图像中灰度变化朕 糸地方（边缘，噪 声丿。bFIGURE 4.4(a) SEM image of a damaocd integrated circuit(b) Fourier spectrum of (a). (Original image courtesy of Dr. 1 M. Hudak.Brockhousc Institute forMalerialsResearch, McMasterLniversilv.* Hamilton, Ontario. Canada.)频率域滤波基本步骤： (-1严 XF(w,v) 7(w,v)x F(w,v)反DEF实咅匕用(-mx(5)结果。被滤波图像=P_1G(v)1、2、3、4、5、6、x+y原图像G(u, v) = H(u9 v)F(w, v)Frequency domain filtering operationF(u. v)Fourier transformFilter functionInverseFourier transformf(3)InputimagePre-processingH(u,v)F(u,v)FIGURE 4.5 Basic steps for filtering in the frequency domain.gg)Enhanced imagePost-processing频域滤波增强J频域增强妁原理频率平面与图像空域特性的关糸 图像变化平缓的部分靠近频率平面的圆心 f这个区域为j频区域图像中的边、噪音、变化睫唆的彳曲 y人放射方向需开频率平面的圆心，这 个区域为高频区域x变化平圾部分J噪咅、变化變唏部分空域滤波一一基于卷积运算法则:g(x,y) = f(x9y)*h(x9y)空域滤波 输出图像原图像滤波系统的脉响应函数频域滤波基于卷积定理，运用数字变换作为工具.得到低通、高通、带通或带阻滤波。7g(x，y) =y) * 方(x, y) = F(w,v)/T(w,v)其中 F(?/,v) = 3/g), H(s) = 3A(x,y) 记 G(“,v) = 2g(x,y),则G(w,v) = F(z/,v)Zf(w,v)1 /(x，y) F(nv)2 根据增强的要求设计适当的传递函数H(“v)3 乘法 G(,t) D()D(,v)是点(，V)距频率原点的距离。如果图像大小MxN ,其变换亦为MxN中心化之后，矩形中心在(弓)|J|J D(u,v)=(U 等尸 + 2 )2ila b cFIGURE 4.10 (a) Perspective plot of an ideal low pass filter transfer function, (b) Filler displayed as an image(c) Filter radial cross section.说明：在半径为DO的圆内，所有频率没有衰减地通过滤 波器，而在此半径的圆之外的所有频率完全被衰减掉理想低通滤波器 一幅大小的图像的总的功 率谱M- N_Pj =艺艺 P(%e)u=O v=O若变换被中心化，原点在 频率矩形中心，半径为啲 圆包含2 %的功率： 100工工叫 V)/Pr_ U V_FIGURE 4.11 (a) An image of size 500 x 500 pixels and (b) its Fourier spectrum. The superimposed circles have radii values of 15. 30. 80. and 230. which enclose 92.0. 94.6.96.4.98.0. and 99.5% of Hie image power, respectively.可以此来建立一组标准截 止频率的对立量，具体例 子如右图所示：巴特沃思低通滤波器n阶巴特沃思低通传函数H(u, v) =l + D*)/o 厂截止频率距原点距离为2透视图滤波器阶数从1到4的滤波器横截面应用：可用于平滑处理，如图像由于量化不足产生虚假轮廓时，常可用低通滤波进行平滑以改进图像质量。通常，BLPF的平滑效果好于ILPF。透视图滤波器阶数从1到4的滤波器横截面FIGURE 4J4 (a) Perspective plot of a Butterworlh lowpass filter transfer function, (b) Filter displayed as an image, (c) Filter radial cross sections of orders 1 through 4.应用：可用于平滑处理，如图像由于量化不足产生虚假轮廓时，常可用低通滤波进行平滑以改进图像质量。通常，BLPF的平滑效果好于ILPF。原图ahcdef alllllll “ a a a s a a a1.a iiiiiiiii . . *.a iiiiiiiii a d a U 3 1 1 aiiiiiii“aaasaaa a jsi IIIIIIIIIIIIII aaaasaaa半径是5的BLPF滤波半径是15的BLPF滤波半径是80的BLPF滤波FIGURE 45 (a) Origin;il iniaoe. (b)-(f) Results of filtering wilh BITFs of(5rder 2, with cutoff Lrcquencics at radii of 5, 15. 30. SO. and 230, as shown in Fig. 4J1 (b). Compare with Pig.4.12半径是30的BLPF滤波半径是230的BLPF滤波