八年级数学竞赛例题和差化积 - 因式分 解的应用专题讲解专题 05 和差化积因式分解的应用阅读与思考：因式分解是代数变形的有力工具，在以后的学习中， 因式分解是学习分式、一元二次方程等知识的基础，其 应用主要体现在以下几个方面：1 复杂的数值计算；2 代数式的化简与求值；3 简单的不定方程（组）；4 代数等式的证明等 .有些多项式分解因式后的结果在解题中经常用到， 我们应熟悉这些结果： ;2. ; ；例题与求解【例 1】已知 ， ，那么 的值为 （全国初中数学联赛试题）解题思路：对已知等式通过因式分解变形，寻求a，b 之间的关系，代入关系求值【例2】a, b, c是正整数，a b,且，贝U等于（）.A.-1 B 1 或7 C . 1 D.1 或 7(江苏省竞赛试题)解题思路：运用因式分解，从变形条件等式入手， 在字母允许的范围内，把一个代数式变换成另一个 与它恒等的代数式称代数式的恒等变形，它是研究代数 式、方程和函数的重要工具，换元、待定系数、配方、 因式分解又是恒等变形的有力工具求代数式的值的基本方法有；(1) 代入字母的值求值；(2) 代入字母间的关系求值；(3) 整体代入求值【例 3】计算： (1) (“希望杯”邀请赛试题)( 2) (江苏省竞赛试题)解题思路：直接计算，则必然繁难，对于 (1) ，不妨 用字母表示数，通过对分子、分母分解因式来探求解题 思路；对于 (2) ，可以先研究 的规律【例 4】求下列方程的整数解(1) ;(上海市竞赛试题)(2) .(四川省竞赛试题)解题思路：不定方程、方程组没有固定的解法，需 具体问题具体分析，观察方程、方程组的特点，利用整 数解这个特殊条件，从分解因式入手解不定方程的常用方法有：(1) 穷举法； (2) 配方法； (3) 分解法； (4) 分离参 数法用这些方程解题时，都要灵活地运用质数合数、奇 数偶数、整除等与整数相关的知识 .【例 5】已知 ， ，求下列各式的值：(1) ； (2) ； (3) 解题思路：先分解因式再代入求值 .【例 6】一个自然数 恰等于另一个自然数 的立方，则称自然数 为完全立方数，如 27= 33, 27就是一个完全立 方数.若 =x x 199519923,求证： 是一个完全立方 数 (北京市竞赛试题)解题思路：用字母表示数,将 分解为完全立方式的 形式即可能力训练A 级如图,有三种卡片,其中边长为 的正方形卡片1 张,边长分别为 , 的长方形卡片 6 张,边长为 的正 方形卡片 9 张,用这 16 张卡片拼成一个正方形,则这个 正方形的边长为 烟台市初中考试题)2已知 ，则 的值为 （江苏省竞赛试题）3 方程 的整数解是 （“希望杯”邀请赛试题）如果 是完全平方式，那么 的值为 （海南省竞赛试题）已知 （ ） ,则 的值是( )A2,B2 C D6当,的值为 （ ） A.1B0 C2 D17已知，贝U M与N的大小关系是 ( ) A. M V N B. M N C. M= N D.不能确定（“希望杯”邀请赛试题）8 为某一自然数，代入代数式 中计算其值时，四 个同学算出如下四个结果，其中正确的结果只能是（ ） ABD （五城市联赛试题）9 计算：（1） （北京市竞赛试题）（2） （ 安徽省竞赛试题 ）0. 一个自然数 恰好等于另 一个自然数 的平方，则称自然数 为完全平方数，如 64 =82, 64就是一个完全平方数，若=19982 +19982X 19992+ 19992,求证： 是一个完全平方数.北京市竞赛试题）已知四个实数且 ， ，若四个关系式 ， ， ，同时成立（1） 求 的值；（2） 分别求 ， ， ， 的值 （湖州市竞赛试题）B 级1 已知 是正整数，且 是质数，那么（“希望杯”邀请赛试题）2 已知三个质数 的乘积等于这三个质数的和的 5 倍，贝y =.（“希望杯”邀请赛试题）3. 已知正数 ， 满足 ，贝=. （北京市竞赛试题）4 在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一 种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆原理是： 如对于多项式，因式分解的结果是 ，若取 =9,= 9时，贝各个因式的值是： ，于是就可以把“ 0181 62” 作为一个六位数的密码，对于多项式，取 =10, = 10时，用上述方法产生的密码是： （写出一个即可）（浙江省中考试题）5 已知 , 是一个三角形的三边,贝 的值 （ ）A. 恒正B .恒负C .可正可负 D .非负（ 太原市竞赛试题 ）6 .若是自然数，设 ，则（ ） .A. 一定是完全平方数 B .存在有限个 ，使是完 全平方数一定不是完全平方数 D .存在无限多个 ，使 是完全平方数7 .方程的正整数解有 （ ） 组.A.3 B .2 C.1 D.0（“五羊杯”竞赛试题）8 .方程的整数解有 （ ） 组.A.2 B .4 C.6 D.8（”希望杯”邀请赛试题）9 .设 N= 695 + 5X 694+ 10X 693+ 10X 692+ 5X 69+ 1.试问有多少个正整数是N的因数？（美国中学生数学竞赛试题）0当我们看到下面这个数学算式 时，大概会觉得算题的人用错了运算法则吧， 因为我们知道 但是，如果你动手计算一下，就会发现 上式并没有错，不仅如此，我们还可以写出任意多个这 种算式： ? ? ? ?你能发现以上等式的规律吗？按下面规则扩充新数：已有，两数，可按规则 扩充一个新数，而以三个数中任取两数，按规则又可扩充一个新数，每扩充一个新数叫做一次操作 . 现有数 1 和 4，求：(1) 按上述规则操作三次得到扩充的最大新数；(2) 能否通过上述规则扩充得到新数 1999，并说明 理由重庆市竞赛试题)12. 设 ， ，为正整数被 整除所得的商分别为(1)若，互质，证明与 互质；(2)当，互质时求的值；( 3)若， 的最大公约数为 5，求 的值江苏省竞赛试题)