可靠性数学基础知识重庆大学 周家启1 集合与事件概率是事件的一定属性，事件可以通过集合(简称“集”)来描述。因之在研究概率之前，讨论一下集合的基本概念。1.1 集合的定义和符号具有某种规定性质的事物的总体称为集(合)。组成集合的这些事物的每一个体称为集的元素或成员。只有有限个元素的集称为有限集，具有无限个元素的集称为无限集。例如，“A城中18岁及以上的全体公民”是一个有限集，“所有正整数的全体”则是一个无限集。集合常用大写字母表示，元素常用小写字母表示，如果某一个体x是集A的元素，则记为读作“x属于A”。而则表示x不属于A。如果集A和集B具有完全相同的元素，即集A的每个元素都是B的元素，集B的每个元素也都是A的元素，则说A等于B，记为A=B。有限集A中元素的数目叫A的基数，记为|A|。一个集S可以用列举出它的全部元素的方式来表示，例如与括号中元素的排列次序无关。一个集P也可以按照它的元素某种特定的属性来表示，例如括号中垂直线左右的记号代表集的典型元素。于是前面列出的集S也可写成或 有两个集A和B，如果B的每个元素都是A的元素，则说B是A的子集，记为 或 有时读成A包含B。一个集A也总是它本身的一个子集，。集A中任何一个不等于A的子集B称为A的真子集，记为 或 如果 且， 则A=B。1.2 集合的基本组合规则通过集的运算可以将某些集合组合形成新的集合，一般有如下一些运算规则。如果A和B是两个集，则它们的并定义为它们的交定义为例1 如果S=2、3、5、7且T=1、2、3，则=1、2、3、5、7；=2、3如果集A和集B没有公共元素，则称它们为不相交的集。这两个不相交集之交得到一个不包含任何元素的集。称其为空集，以表示。因之，而且也是任意一个集N的子集。集的并和交的运算服从以下规则1. 幂等律，2. 交换律，3. 结合律，4. 分配律，集A和集B的差AB定义为如果B是A的一个子集，则有时称AB为B在A中的补集。例2 如果S=2、3、5、7且T=1、2、3，则ST = 5、7；TS = 11.3 集的集合的概念在可靠性评估技术中常会碰到集中的元素本身也是一个集的情况。以下用所谓的幂集来说明这个概念。定义任意集A的幂集(A)为A的全部子集的集合，即例3 令A=x, y, z，则对于集的集合，其并和交的定义是：令为任意集的集合，则并而交如果是有限个集的集合，例如，则常可写出或或例4 令=A、B、C，其中A=2，3，5，7，B=1，3，5，C=1，2，3，则=1、2、3、5、7，还可以由其它的方式构成集的集合。如果集A的每一个元素至少属于集中的一个成员，即，则称集A的非空子集的集合为A的覆盖。如果A的一个覆盖还具有如下性质：的全部成员都是两两互不相交的，则称是A的一个划分。例5 如果S=a、b、c、d、e，则可以有如下覆盖a、b，b、c、d，b、c、e；a、b，c、d、e；a、b、c、d、e并且上面第二及第三个覆盖又是A的两个划分。1.4 事件及其集合表达1.4.1 样本空间人类的生产和科研活动、或观察到的自然现象，都存在着相互联系与制约的因素，有其一定的内在必然发展规律，但它们同时又受着各种各样外在偶然因素的影响，呈现出现象发生的“随机性”。概率论和统计学就发端于对这些“随机”现象的研究。随机现象的基本特征是，这些现象在一定条件下可能发生，也可能不发生，需要通过对现象的统计实验来研究其发生的规律。统计方法往往是在一定条件下进行试验或现场观测，将其结果记录下来，作为研究和推断的依据。按原始形式收集的观察记数或试验的测量记录，一般称为原始数据。在统计学中常用“实验”一词来统称产生原始数据的过程。抛掷硬币观察其出现正面或反面的现象，是最常用的统计实验例子。气象观测、水文观测、电站运行记录、产品质量检验记录等，也都是生产和科研工作中的统计实验方法。通常将一个给定条件的统计实验中所有可能结果的总和称为“样本空间”，或者用集合的术语描述为：一个项统计记录的全部可能结果的集合称为样本空间，并常用S表示。例6 将一枚硬币抛掷两次，可能出现的全部结果是，正，正，正，反，反，正，反，反，则样本空间S = 正，正，正，反，反，正，反，反例7 在足够长的统计时期内，“一年出现1次故障”的全部可能结果，即其样本空间S = 0，1，2，3，1.4.2 事件事件总是与某些实验的结果相关联，理论研究中一般作出以下假设：(1) 在相同条件下重复进行；(2) 实验的结果可能不只一个；(3) 不可能预先判定每一次实验将出现的结果。工程研究中的事件一般都可以用集合来描述为：样本空间中的一个子集称为事件。例8 设某种电子元件使用寿命的样本空间为，式中t为该元件的寿命，则是该元件寿命等于或小于5年的事件。为研究和叙述问题方便，还常常定义以下事件：如果一个事件只包含样本空间集合中的一个元素，则称这个事件为基本事件，或简单事件；如果一个事件在某个实验中一定会发生，则称这个事件为必然事件；如果一个事件在某个实验中一定不会发生，则称这个事件为不可能事件；如果一个事件在某个实验中可能发生也可能不发生，则称这个事件为随机事件。概率论就是研究随机事件规律的一门数学分支。例9 在对电网的事故统计中，如果说，“某一条供电线路一年内可能发生故障的所有次数”，则这是一个必然事件；如果说，“某一条供电线路一年内发生 2 次故障”，则这是一个不可能事件；如果说，“某一条供电线路一年内发生 1 次故障”，则这是一个随机事件。为了能更易于理解所要讨论的问题，可利用图形来对概念进行描述。通常所用的是一种所谓的凡恩图。凡恩图通常画成一个矩形来表示全部样本空间S，如图1所示。面积S包含了要讨论的整个空间，其中可能存在着两个或两个以上的事件。图1是只包含两个事件A和B的特殊情况。如果事件A被完全包含在事件B中（可用符号AB表示），则事件A由属于事件B，且只由属于事件B的元素构成，如图1a所示。一般的关系则是部分重合(图1b)或者完全不重合(图1c)。图1 凡恩图事件既然可以用集合来描述，则前述其集合的基本组合规则完全适用于事件的运算。2 概率基本概念2.1 定义概率是一种科学的“机会测度”，它从定量的角度定义了事件发生的可能性。这种测度在不可能事件的零概率值和必然事件的1概率值之间的范围内取值。2.1.1 概率的古典定义如果某一试验的全部可能结果为n个，且每个结果都具有等可能性和互不相容性，而其中对应于A的结果是m个，则事件A发生的概率为 (1)例10 有50件产品，合格品数是48件，令从这批产品中“任取一件是合格品”为事件A，则在这批产品中任取一件是合格品的概率为P(A)=48/50=96%此外，由于必然事件包括了所有基本事件，设其用U表示，则可用概率的观点作如下解释：而不可能事件不包含任何基本事件，设其用V表示，也可用概率的观点作如下解释：随机事件A所含基本事件数m必然满足不等式0mn，所以0P(A)12.1.2 概率的统计定义由概率的古典定义可见，它要求事件数是有限的，且要求事件的发生是等可能的。但许多实际问题不具备这种性质。例如英文书籍中26个字母出现的可能性就很不相同，字母“e”就比字母“z”出现的可能性大得多。又如某流域的年降雨量可以取某一区间的任意实数值，这就不能满足有限结果的要求。但是这些事件仍有其本身的规律性。只要进行大量重复的试验，就会发现许多随机事件是随着试验次数的不断增加而趋近于某一稳定值。由此可引入概率的统计定义。设n次重复试验中，事件A出现f次，则称f为事件A出现的频数，称为事件A出现的频率：定义：当试验次数n足够大时，事件A出现的频率渐趋于一个稳定值P(A)，则称这一稳定值P(A)为事件A发生的统计概率，记为 (2)2.2 概率的基本运算规则依据前一节有关事件和概率的基本概念，本节按性质分类对事件及其概率运算的基本规则加以概述。2.2.1 事件分类1. 独立事件如果某一事件的发生不影响另一事件发生的概率，则这两个事件称为独立事件，例如抛一枚硬币和掷一枚骰子是独立事件，因为骰子出现的点数并不影响抛硬币的结果。实际工程中，只要相关程度不大时，都假设是独立事件，例如一个发电厂中不同的主设备的故障事件。但如果已知具有一定的相关性时，则必须在评估中将相关性考虑进去。事件独立性的假设可能导致可靠性的偏高估计。2. 互斥事件如果两个事件不可能同时发生，则称它们是互斥事件，或称不相交事件。前一节的图1c就表示这种情况。当然，在A和B事件以外也可能发生其它事件，因为A和B并没有充满整个样本空间。例如一个设备的成功运行和事故退出工作这两种状态就不可能同时存在，因而是互斥事件。当然，该设备还可能处于非故障停运的第三种状态。3. 对立事件如果一个事件只存在两种可能结果，其中一种结果不发生，另一种结果就必然发生，则称它们是对立事件,或称互补事件，如图2所示。如果这两种结果A和B的概率分别是P(A)和P(B)，则根据定义有A 或 (3)图2 对立事件例11 设“一台发电机投入运行”为事件A，“该发电机停运”为事件，则事件A和事件B是对立事件，且显然，对立事件必然是互斥事件，但互斥事件并不一定是对立事件。4. 条件事件条件事件是一些在另一个或另几个事件发生的条件下发生的事件。如果研究事件B发生的条件下事件A发生的概率，则将其记为P(A|B)，读为“给定B发生时A发生的条件概率”。根据式(1)和图3可以得到 图3 事件的交或 (4)2.2.2 事件的交两个事件A和B同时发生，在数学上称之为两个事件的交，由图3中阴影面积表示，并记为或。1. 独立事件由于独立事件中每一事件发生的概率并不受另一事件发生概率的影响，对于两个独立事件的情形则有因此根据式(4)，两者都发生的概率是 (5)对于多个独立事件，则可推广给出 (6)例12 有两个元件A和B，元件A正常工作的概率是0.9，元件B正常工作的概率是0.95。设两个元件是否正常工作互不影响，因此两个元件同时正常工作的概率是2. 相关事件这时，一个事件发生的概率要受另一个事件发生概率的影响。由式(4)有 (7)例13 某工厂的产品中有4%的次品，在100件合格品中一等品占75%，求任取一件产品是一等品的概率。解 以A表示一等品，B表示合格品，C表示次品。则而 因此 2.2.3 事件的并两个事件A和B中至少一件发生，数学上称为事件的并，由图4中的阴影面积表示，记为。 BA图4 事件的并1. 事件独立而不互斥这种事件的概率计算如下： (8)上式可推广到对于n个随