方差在解题中的应用初中代数中曾介绍过一组数据的方差，设。记，那么叫做这组数据的方差。运算变形后得：。灵活运用（当且仅当时取“=”号）进行解题，可以收到很好的效果。1. 巧用方差解题例1. 已知，求证：证明：令，则的平均数。方差整理得，即当且仅当，且，即时取“=”号。例2. 已知，求的值。分析：数的平均数方差整理得当且仅当时取“=”号。又知所以求得例3. 求满足方程的一切实数x，y的值。解：设数据的平均数为方差当且仅当时，此时小结：在构造不等式中，要设法使不等号的一边变成常数和注意等号成立的条件。2. 引伸，推广成定理定理：若，则证明：因为n个数的方差，化简得。当且仅当时，取“=”号。该定理反映了“n个数的平方和”与“n个数的和的平方”之间的内在联系。例4. 已知，求证证明：由定理知所以，即。当且仅当时取“=”号。例2. 已知，求证证明：由定理知，所以又知，所以，则所以当且仅当，即时取“=”号。例3. 设，且，求的最大值与最小值。解：由以上定理知（1）令则（2）又知，所以（3）（2），（3）代入（1）式得，所以可知的最大值为4，此时