第3章 力系的平衡3.1 主要内容空间任意力系平衡的必要和充分条件是：力系的主矢和对任一点的主矩等于零，即 空间力系平衡方程的基本形式 空间汇交力系平衡的必要和充分条件是：力系的合力 空间汇交力系平衡方程的基本形式 空间力偶系平衡的必要和充分条件是：各分力偶矩矢的矢量和 空间力偶系平衡方程的基本形式 平面力系平衡的必要和充分条件:力系的主矢和对于任一点的主矩都等于零，即：;平面力系的平衡方程有三种形式：基本形式： 二矩式： （A、B连线不能与x轴垂直）三矩式： （A、B、C三点不共线）平面力系有三个独立的平衡方程，可解三个未知量。平面汇交力系平衡的必要和充分条件是合力为零，即 平衡的解析条件：各分力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零，即 两个独立的平衡方程，可解两个未知量。平面力偶系平衡的必要和充分条件为：力偶系中各力偶矩的代数和等于零，即 一个独立的平衡方程，可解一个未知量。3.2 基本要求1 熟练掌握力的投影，分布力系的简化、力对轴之矩等静力学基本运算。2 能应用各种类型力系的平衡条件和平衡方程求解单个刚体和简单刚体系统的平衡问题。对平面一般力系的平衡问题，能熟练地选取分离体和应用各种形式的平衡方程求解。3 正确理解静定和超静定的概念，并会判断具体问题的静定性。3.3 重点讨论主要研究单个刚体和刚体系统受平面力系而平衡的问题。在研究系统的平衡问题时，首先应进行静定性的判断。刚体静力学，只研究静定的系统。求解单个刚体平衡时，应选择合适的平衡方程的形式。对投影轴的取向及矩心和取矩轴的位置也要灵活选择，以便列一个平衡方程就能求出一个未知量。如列力矩方程时，把矩心选在一个未知力的作用线上或两个未知力的交点上；列投影方程时，选择投影轴与一个力或几个未知力垂直，则在方程中不会出现这些未知力，可使方程所含未知力数目减少。求解刚体系统平衡时，原则上讲，可以将刚体系拆成单个刚体，对每一单个刚体列写平衡方程，再将所有平衡方程联立求解。如果刚体系是静定的，由所列方程能解出全部位置量。这种方法比较规范，但求解联立方程的计算量大，只适用于计算机求解，而且物理概念不清楚，也不适用于只求解某几个指定的未知量的情况。在理论力学学习阶段，应重视物理概念，并主要靠手工运算求解；因此，应灵活选取研究对象，灵活列写平衡方程，尽量做到列一个平衡方程就解出一个未知量。求解力系平衡问题的方法和步骤。1选取研究对象；2分析研究对象受力，画受力图；3根据力系的类型列写平衡方程，选取适当的坐标轴和矩心，以使方程中未知量个数最少；4求未知量，分析和讨论计算结果。分析物体系统平衡时，注意分清内力和外力，并注意灵活选择研究对象及平衡方程，以便简捷求解。如系统是由n个受平面力系作用的物体组成，则独立的平衡方程个数为3 n个。求解刚体在空间力系作用下的平衡问题，其分析方法和解题步骤与平面问题基本相同。空间力系的平衡方程，除基本形式外，也有其它形式。投影方程可部分或全部由力矩方程代替。但所写的平衡方程必须都是彼此独立的。和平面问题不同的是，求解空间问题要有清楚的空间概念，明确力与坐标间的空间关系，熟练计算力在空间三个坐标轴上的投影和力对轴之矩。3.4 例题分析例3-1 刚架如图3-1(a)所示，在B点受一水平力作用。设F=20 kN，刚架的重量略去不计。求A、D处的约束力。解：（1）根据题意，选刚架为研究对象。选择长度比例尺ul=2 m/cm，画出刚架的轮廓图形。（2）画受力图，刚架受水平主动力F作用。D点为可动支座，故约束力FRD通过销钉中心D，垂直于支承面，方向朝上。A点为固定铰支座，约束力的方向未定。由于刚架在三个力作用下处于平衡，而力F与FRD交于C，所以力FRA必沿AC连线的方向。受力图如图3-1(b)所示。FFRDFRAFFFRDFRA图3-1（3）作力多边形，求未知量，选择力比例尺mF=5 kN/cm作封闭的力三角形，如图3-1(c)所示。量得：FRA=22.4 kN，FRD=10 kN两约束力的指向由力三角形闭合的条件确定如图3-1(c)所示。或根据三角形关系计算得到：FRA ，FRD = FRA 通过以上例题，可以看出，用几何法解题具有直观、简便、一目了然的优点。用解析法求解解：（1）选刚架为研究对象。（2）画受力图，约束力FRA的指向假设如图3-1(b) 所示。（3）列平衡方程，选坐标轴如图所示。有：，(a)，(b)（4）求未知量，由式(a)得FRA得负值，表示假设的指向与实际指向相反。由式(b)得FRD = - FRA 图3-2例3-2 塔式起重机如图3-2所示。机架重，作用线通过塔架的中心。最大起重量，最大悬臂长为12m，轨道AB的间距为4m。平衡重到机身中心线距离为6m。（1）保证起重机在满载和空载时都不致翻到，平衡重应为多少？（2）当平衡重时，求满载时轨道A、B的约束力。解：（1）起重机受力如图。满载时，在起重机即将绕B点翻倒的临界情况，有。由此可求出平衡重的最小值。 kN空载时，载荷。在起重机即将绕A点翻倒的临界情况，有。由此可求出P3的最大值。 kN实际工作时，起重机不致翻到的平衡重取值范围为 （2）当时，由平面平行力系的平衡方程 解得kN， kN。物系在力系作用下处于平衡状态，这意味着系统整体、部分物体的组合及每个物体都处于平衡状态。对于n个物体组成的系统，若系统是静定的，受平面任意力系作用的每个物体可列写三个独立方程，求解出3n个未知量。虽然需要求解联立方程，但是在理论上和技术上已不存在困难。现在的问题是如何使过程最简捷，这需要恰当地选取研究对象，熟练地进行力的分析，并有一定的技巧性。对于平衡的物系，可提供选取的研究对象大于n个，因而不必拘泥于以每个物体为研究对象。这样，解题的原则是选取恰当的研究对象求出一些未知量。显然，以建立的平衡方程只包含一个未知量为最佳，即尽量做到列一个平衡方程就能解出一个未知量。之后再选取另外的研究对象求出有关未知量，连续求解，直至求得全部的未知量。所以在解题之前要先制定出解题步骤。此外，在求解过程中应注意以下几点：1首先判断物体系统是否属于静定问题2恰当地选择研究对象在一般情况下，首先以系统的整体为研究对象，这样则不出现未知的内力，易于解出未知量。当不能求出未知量时应立即选取单个物体或部分物体的组合为研究对象，一般应先选受力简单而作用有已知力的物体为研究对象，求出部分未知量后，再研究其它物体。3受力分析（1）首先从二力构件入手，可使受力图比较简单，有利于解题。（2）解除约束时，要严格地按照约束的性质，画出相应的约束力，切忌凭主观想象画力。对于一个销钉连接三个或三个以上物体时，要明确所选对象中是否包括该销钉？解除了哪些约束？然后正确画出相应的约束力。（3）画受力图时，关键在于正确画出铰链反力，除二力构件外，通常用两个相互垂直的分量表示铰链的约束力。（4）不画研究对象的内力。（5）两物体间的相互作用力应该符合作用与反作用定律，即作用力与反作用力必定等值，反向和共线。4列平衡方程，求未知量（1）列出恰当的平衡方程，尽量避免在方程中出现不需要求的未知量。为此可恰当地运用力矩方程，适当选择两个未知力的交点为矩心，所选的坐标轴应与较多的未知力垂直。（2）判断清楚每个研究对象所受的力系及其独立方程的个数及物体系独立平衡方程的总数，避免列出不独立的平衡方程。（3）解题时应从未知力最少的方程入手，尽量避免联立解。（4）校核。求出全部所需的未知量后，可再列一个不重复的平衡方程，将计算结果代入，若满足方程，则计算无误。图3-3例3-3图示刚架自重不计。已知：，C、D为光滑铰链。试求：支座A、B的约束力。解：AC为二力杆，受力如图（a）（1）取CD杆为研究对象，受力如图（b） , （2）取BD杆为研究对象，受力如图（c）， , ， ， ， 图3-3图3-4例3-4图式构架ABC由AB，BC，DF组成，杆DF上的销子E，可在杆BC的光滑槽内滑动，在杆DH上作用一力偶，其矩为，A为固定端，C为可动铰支座。试求A、C的约束力。解：取DH为研究对象 取BC为研究对象 取整体为研究对象， ， ， 图3-4例3-5简单构架如图，已知：r=1m，绳EK水平，FP=4kN，L=4m，不计直杆及滑轮的重量。求铰链B的约束力和圆柱销钉C作用于CA杆的力。(a) (b) (c)图3-5解：取整体为研究对象 ， ， ， ，取AC杆为研究对象 ， ， ， ，例3-6正方形板由六根直杆支撑于水平位置，若在点沿作用水平力F，尺寸如图3-6所示，不计板重和杆重，试求各杆的内力。FF(a) (b)图3-6解：取板为研究对象。设各杆均为拉杆，板的受力如图3-6（b）所示。现应用六个力矩方程求解。， ， ， ， ， ， 各杆内力为 （拉）， （压）， （压）， （拉）， （拉）， （压）。3.5 习题解答FPFP3-1 题31图所示简易起重机用钢丝绳吊起重量2kN的重物。不计杆件自重、摩擦及滑轮大小，A、B、C三处简化为铰链连接，试求杆AB和AC所受的力。FACFAB FP FT y xFAB FP FTFAC xy