第2讲三角恒等变换与解三角形考情研析正弦定理、余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查：1.边和角的计算2.三角形形状的判断3.面积的计算4.有关参数的范围问题由于此内容应用性较强，与实际问题结合起来进行命题将是今后高考的一个关注点，不可轻视.核心知识回顾1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式sin()sincoscossin；cos()coscossinsin；tan().2二倍角的正弦、余弦、正切公式sin22sincos；cos2cos2sin22cos2112sin2；tan2；cos2，sin2.3辅助角公式asinbcos sin().4正弦定理2R(2R为ABC外接圆的直径)变形：a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC.sinA，sinB，sinC.abcsinAsinBsinC.5余弦定理a2b2c22bccosA，b2a2c22accosB，c2a2b22abcosC.推论：cosA，cosB，cosC.6面积公式SABCbcsinAacsinBabsinC.7常用结论(1)三角形内角和ABC；(2)abcABCsinAsinBsinC；(3)sin(AB)sinC，cos(AB)cosC.热点考向探究考向1 三角恒等变换与求值例1(1)已知为第一象限角，cos，则()A.BCD答案C解析cos且为第一象限角，sin，sin22sincos2，cos22cos21221，.(2)已知(0，)，且sin，则tan2()A.BCD答案C解析sin(sincos)，sincos.(0，)，且sin2cos21，tan，tan2.(3)(2019四川德阳高三第二次诊断)已知为锐角，且tan，则cos()ABCD答案A解析cossin22sincos.(1)三角恒等变换的常用技巧是“化异为同”，即“化异名为同名”“化异次为同次”“化异角为同角”，其中涉及sin2，cos2时，常逆用二倍角余弦公式降幂(2)常见的“变角”技巧：()()，()()，等，使用“变角”技巧时，应根据已知条件中的角，选择恰当变角技巧1在ABC中，若tanAtanBtanAtanB1，则cosC的值为()ABCD答案B解析由tanAtanBtanAtanB1，可得1，即tan(AB)1.又因为A，B是ABC的内角，即AB(0，)，所以AB，易知C，cosC.2(2019辽宁抚顺高三一模)已知函数f(x)sinxcos，若在区间上f(x)a恒成立，则实数a的最大值是()ABCD答案A解析函数f(x)sinxcossinxcosxsin，由于0x，故x，sin.当x0时，函数的最小值为.由于在区间上f(x)a恒成立，故a，所以a的最大值为.故选A.3已知tan，且0，则等于()ABCD答案A解析由tan，得tan.又0，所以sin.故2sin.考向2 正弦定理与余弦定理的应用例2(2019辽宁抚顺高三一模)已知a，b，c分别是ABC的三个内角A，B，C的对边，若a10，角B是最小的内角，且3c4asinB3bcosA.(1)求sinB的值；(2)若c14，求b的值解(1)由3c4asinB3bcosA且ABC，由正弦定理得3sinC4sinAsinB3sinBcosA，即3sin(AB)4sinAsinB3sinBcosA，由于0A0，整理可得3cosB4sinB，又sinB0，所以sinB.(2)因为角B是最小的内角，所以0B，又由(1)知sinB，所以cosB，由余弦定理得b21421022141072，即b6.(1)利用正、余弦定理解三角形时，涉及边与角的余弦的积时，常用正弦定理将边化为角，涉及边的平方时，一般用余弦定理(2)涉及边a，b，c的齐次式时，常用正弦定理转化为角的正弦值，再利用三角公式进行变形(3)涉及正、余弦定理与三角形面积综合问题，求三角形面积时用SabsinC形式的面积公式已知ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足acos2C2ccosAcosCab0.(1)求角C的大小；(2)若b4sinB，求ABC面积S的最大值解(1)由acos2C2ccosAcosCab0，得a(2cos2C1)2ccosAcosCab0，即2acos2C2ccosAcosCb0.由正弦定理，得2sinAcos2C2sinCcosAcosCsinB0，2cosCsin(AC)sinB0，即2cosCsinBsinB0.0B180，sinB0，cosC，C120.(2)根据正弦定理，得c，b4sinB，C120，c2，由余弦定理c2a2b22abcosC，得(2)2a2b22abcos120a2b2ab3ab，ab4，SabsinC，ABC面积S的最大值为.考向3 解三角形的综合问题角度1解三角形与三角恒等变换的综合例3(2019福建省高三模拟)已知在ABC中，AC3，C120，cosAsinB.(1)求边BC的长；(2)设D为AB边上一点，且BCD的面积为，求sinBDC.解(1)由cosAsinB及C120，得cos(60B)sinB，展开得cosBsinBsinB0，即cos(B60)0，所以B30.所以A60B30，即AB30，所以BCAC3.(2)由SBCD3BDsin30，解得BD.在BCD中，CD2BC2BD22BCBDcosB，所以CD.由，得2，所以sinBDC.正、余弦定理与三角恒等变换的综合问题，应先利用三角恒等变换公式将函数关系式变形为只含一个角的一种三角函数形式后，再根据要求求解(2019江西南昌高三适应性测试)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.(1)求的值；(2)若cosB，b2，求ABC的面积解(1)由正弦定理，得，所以，即(cosA2cosC)sinB(2sinCsinA)cosB，cosAsinB2cosCsinB2sinCcosBsinAcosB，cosAsinBsinAcosB2sinCcosB2cosCsinB化简得sin(AB)2sin(BC)，又ABC，所以sinC2sinA，因此2.(2)由2，得c2a，由余弦定理b2a2c22accosB及cosB，b2，得4a24a24a2，得a1，从而c2.又因为cosB，且0B0，所以AD3.真题押题真题模拟1(2019山东聊城高三一模)设函数f(x)sinxcosx，若对于任意的xR，都有f(2x)f(x)，则sin()A.BCD答案B解析f(x)sinxcosxsin，由f(2x)f(x)，得x是函数f(x)的对称轴，得k，kZ，得k，kZ.sinsinsin.故选B.2(2018全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若ABC的面积为，则C()A.BCD答案C解析由题可知SABCabsinC，所以a2b2c22absinC.由余弦定理得a2b2c22abcosC，所以sinCcosC.C(0，)，C.故选C.3(2019全国卷)已知，2sin2cos21，则sin()A.BCD答案B解析由2sin2cos21，得4sincos2cos2.又，tan，sin.故选B.4(2019河南顶级名校高三四模)已知，sin(2)sin，cos的最小值为()A.BCD答案A解析因为sin(2)sin，即sin()sin()，则sin()coscos()sinsin()coscos()sin，有sin()cos5cos()sintan()5tan，即5tan，那么tan，tan0，tan0，tan，当5tan即tan时等号成立因此tan2，即cos2，又，cos0cos.故选A.5(2018全国卷)已知sincos1，cossin0，则sin()_.答案解析解法一：因为sincos1，cossin0，所以(1sin)2