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第二部分 牛顿运动定律第一讲 牛顿三定律一、牛顿第一定律1、定律。惯性的量度2、观念意义,突破“初态困惑”二、牛顿第二定律1、定律2、理解要点a、矢量性b、独立作用性:F a ,Fx ax c、瞬时性。合力可突变,故加速度可突变(与之对比:速度和位移不可突变);牛顿第二定律展示了加速度的决定式(加速度的定义式仅仅展示了加速度的“测量手段”)。3、适用条件a、宏观、低速b、惯性系对于非惯性系的定律修正引入惯性力、参与受力分析三、牛顿第三定律1、定律2、理解要点a、同性质(但不同物体)b、等时效(同增同减)c、无条件(与运动状态、空间选择无关)第二讲 牛顿定律的应用一、牛顿第一、第二定律的应用单独应用牛顿第一定律的物理问题比较少,一般是需要用其解决物理问题中的某一个环节。应用要点:合力为零时,物体靠惯性维持原有运动状态;只有物体有加速度时才需要合力。有质量的物体才有惯性。a可以突变而v、s不可突变。1、如图1所示,在马达的驱动下,皮带运输机上方的皮带以恒定的速度向右运动。现将一工件(大小不计)在皮带左端A点轻轻放下,则在此后的过程中( )A、一段时间内,工件将在滑动摩擦力作用下,对地做加速运动B、当工件的速度等于v时,它与皮带之间的摩擦力变为静摩擦力C、当工件相对皮带静止时,它位于皮带上A点右侧的某一点D、工件在皮带上有可能不存在与皮带相对静止的状态解说:B选项需要用到牛顿第一定律,A、C、D选项用到牛顿第二定律。较难突破的是A选项,在为什么不会“立即跟上皮带”的问题上,建议使用反证法(t 0 ,a ,则Fx ,必然会出现“供不应求”的局面)和比较法(为什么人跳上速度不大的物体可以不发生相对滑动?因为人是可以形变、重心可以调节的特殊“物体”)此外,本题的D选项还要用到匀变速运动规律。用匀变速运动规律和牛顿第二定律不难得出只有当L 时(其中为工件与皮带之间的动摩擦因素),才有相对静止的过程,否则没有。答案:A、D思考:令L = 10m ,v = 2 m/s ,= 0.2 ,g取10 m/s2 ,试求工件到达皮带右端的时间t(过程略,答案为5.5s)进阶练习:在上面“思考”题中,将工件给予一水平向右的初速v0 ,其它条件不变,再求t(学生分以下三组进行) v0 = 1m/s (答:0.5 + 37/8 = 5.13s) v0 = 4m/s (答:1.0 + 3.5 = 4.5s) v0 = 1m/s (答:1.55s)2、质量均为m的两只钩码A和B,用轻弹簧和轻绳连接,然后挂在天花板上,如图2所示。试问: 如果在P处剪断细绳,在剪断瞬时,B的加速度是多少? 如果在Q处剪断弹簧,在剪断瞬时,B的加速度又是多少?解说:第问是常规处理。由于“弹簧不会立即发生形变”,故剪断瞬间弹簧弹力维持原值,所以此时B钩码的加速度为零(A的加速度则为2g)。第问需要我们反省这样一个问题:“弹簧不会立即发生形变”的原因是什么?是A、B两物的惯性,且速度v和位移s不能突变。但在Q点剪断弹簧时,弹簧却是没有惯性的(没有质量),遵从理想模型的条件,弹簧应在一瞬间恢复原长!即弹簧弹力突变为零。答案:0 ;g 。二、牛顿第二定律的应用应用要点:受力较少时,直接应用牛顿第二定律的“矢量性”解题。受力比较多时,结合正交分解与“独立作用性”解题。在难度方面,“瞬时性”问题相对较大。1、滑块在固定、光滑、倾角为的斜面上下滑,试求其加速度。解说:受力分析 根据“矢量性”定合力方向 牛顿第二定律应用答案:gsin。思考:如果斜面解除固定,上表仍光滑,倾角仍为,要求滑块与斜面相对静止,斜面应具备一个多大的水平加速度?(解题思路完全相同,研究对象仍为滑块。但在第二环节上应注意区别。答:gtg。)进阶练习1:在一向右运动的车厢中,用细绳悬挂的小球呈现如图3所示的稳定状态,试求车厢的加速度。(和“思考”题同理,答:gtg。)进阶练习2、如图4所示,小车在倾角为的斜面上匀加速运动,车厢顶用细绳悬挂一小球,发现悬绳与竖直方向形成一个稳定的夹角。试求小车的加速度。解:继续贯彻“矢量性”的应用,但数学处理复杂了一些(正弦定理解三角形)。分析小球受力后,根据“矢量性”我们可以做如图5所示的平行四边形,并找到相应的夹角。设张力T与斜面方向的夹角为,则=(90+ )- = 90-(-) (1)对灰色三角形用正弦定理,有 = (2)解(1)(2)两式得:F = 最后运用牛顿第二定律即可求小球加速度(即小车加速度)答: 。2、如图6所示,光滑斜面倾角为,在水平地面上加速运动。斜面上用一条与斜面平行的细绳系一质量为m的小球,当斜面加速度为a时(actg),小球能够保持相对斜面静止。试求此时绳子的张力T 。解说:当力的个数较多,不能直接用平行四边形寻求合力时,宜用正交分解处理受力,在对应牛顿第二定律的“独立作用性”列方程。正交坐标的选择,视解题方便程度而定。解法一:先介绍一般的思路。沿加速度a方向建x轴,与a垂直的方向上建y轴,如图7所示(N为斜面支持力)。于是可得两方程Fx = ma ,即Tx Nx = maFy = 0 , 即Ty + Ny = mg代入方位角,以上两式成为T cosN sin = ma (1)T sin + Ncos = mg (2)这是一个关于T和N的方程组,解(1)(2)两式得:T = mgsin + ma cos解法二:下面尝试一下能否独立地解张力T 。将正交分解的坐标选择为:x斜面方向,y和斜面垂直的方向。这时,在分解受力时,只分解重力G就行了,但值得注意,加速度a不在任何一个坐标轴上,是需要分解的。矢量分解后,如图8所示。根据独立作用性原理,Fx = max即:T Gx = max即:T mg sin = m acos显然,独立解T值是成功的。结果与解法一相同。答案:mgsin + ma cos思考:当actg时,张力T的结果会变化吗?(从支持力的结果N = mgcosma sin看小球脱离斜面的条件,求脱离斜面后,条件已没有意义。答:T = m 。)学生活动:用正交分解法解本节第2题“进阶练习2”进阶练习:如图9所示,自动扶梯与地面的夹角为30,但扶梯的台阶是水平的。当扶梯以a = 4m/s2的加速度向上运动时,站在扶梯上质量为60kg的人相对扶梯静止。重力加速度g = 10 m/s2,试求扶梯对人的静摩擦力f 。解:这是一个展示独立作用性原理的经典例题,建议学生选择两种坐标(一种是沿a方向和垂直a方向,另一种是水平和竖直方向),对比解题过程,进而充分领会用牛顿第二定律解题的灵活性。答:208N 。3、如图10所示,甲图系着小球的是两根轻绳,乙图系着小球的是一根轻弹簧和轻绳,方位角已知。现将它们的水平绳剪断,试求:在剪断瞬间,两种情形下小球的瞬时加速度。解说:第一步,阐明绳子弹力和弹簧弹力的区别。(学生活动)思考:用竖直的绳和弹簧悬吊小球,并用竖直向下的力拉住小球静止,然后同时释放,会有什么现象?原因是什么?结论绳子的弹力可以突变而弹簧的弹力不能突变(胡克定律)。第二步,在本例中,突破“绳子的拉力如何瞬时调节”这一难点(从即将开始的运动来反推)。知识点,牛顿第二定律的瞬时性。答案:a甲 = gsin ;a乙 = gtg 。应用:如图11所示,吊篮P挂在天花板上,与吊篮质量相等的物体Q被固定在吊篮中的轻弹簧托住,当悬挂吊篮的细绳被烧断瞬间,P、Q的加速度分别是多少?解:略。答:2g ;0 。三、牛顿第二、第三定律的应用要点:在动力学问题中,如果遇到几个研究对象时,就会面临如何处理对象之间的力和对象与外界之间的力问题,这时有必要引进“系统”、“内力”和“外力”等概念,并适时地运用牛顿第三定律。在方法的选择方面,则有“隔离法”和“整体法”。前者是根本,后者有局限,也有难度,但常常使解题过程简化,使过程的物理意义更加明晰。对N个对象,有N个隔离方程和一个(可能的)整体方程,这(N + 1)个方程中必有一个是通解方程,如何取舍,视解题方便程度而定。补充:当多个对象不具有共同的加速度时,一般来讲,整体法不可用,但也有一种特殊的“整体方程”,可以不受这个局限(可以介绍推导过程)= m1 + m2 + m3 + + mn其中只能是系统外力的矢量和,等式右边也是矢量相加。1、如图12所示,光滑水平面上放着一个长为L的均质直棒,现给棒一个沿棒方向的、大小为F的水平恒力作用,则棒中各部位的张力T随图中x的关系怎样?解说:截取隔离对象,列整体方程和隔离方程(隔离右段较好)。答案:N = x 。思考:如果水平面粗糙,结论又如何?解:分两种情况,(1)能拉动;(2)不能拉动。第(1)情况的计算和原题基本相同,只是多了一个摩擦力的处理,结论的化简也麻烦一些。第(2)情况可设棒的总质量为M ,和水平面的摩擦因素为,而F = Mg ,其中lL ,则x(L-l)的右段没有张力,x(L-l)的左端才有张力。答:若棒仍能被拉动,结论不变。若棒不能被拉动,且F = Mg时(为棒与平面的摩擦因素,l为小于L的某一值,M为棒的总质量),当x(L-l),N0 ;当x(L-l),N = x -L-l。应用:如图13所示,在倾角为的固定斜面上,叠放着两个长方体滑块,它们的质量分别为m1和m2 ,它们之间的摩擦因素、和斜面的摩擦因素分别为1和2 ,系统释放后能够一起加速下滑,则它们之间的摩擦力大小为:A、1 m1gcos ; B、2 m1gcos ;C、1 m2gcos ; D、1 m2gcos ;解:略。答:B 。(方向沿斜面向上。)思考:(1)如果两滑块不是下滑,而是以初速度v0一起上冲,以上结论会变吗?(2)如果斜面光滑,两滑块之间有没有摩擦力?(3)如果将下面的滑块换成如图14所示的盒子,上面的滑块换成小球,它们以初速度v0一起上冲,球应对盒子的哪一侧内壁有压力?解:略。答:(1)不会;(2)没有;(3)若斜面光滑,对两内壁均无压力,若斜面粗糙,对斜面上方的内壁有压力。2、如图15所示,三个物体质量分别为m1 、m2和m3 ,带滑轮的物体放在光滑水平面上,滑轮和所有接触面的摩擦均不计,绳子的质量也不计,为使三个物体无相对滑动,水平推力F应为多少?解说:此题对象虽然有三个,但难度不大。隔离m2 ,竖直方向有一个平衡方程;隔离m1 ,水平方向有一个动力学方程;整体有一个动力学方程。就足以解题了。答案:F = 。思考:若将质量为m3物体右边挖成凹形,让m2可以自由摆动(而不与m3相碰),如图16所示,其它条件不变。是否可以选择一个恰当的F,使三者无相对运动?如果没有,说明理由;如果有,求出这个F的值。解:此时,m2的隔离方程将较为复杂。设绳子张力为T ,m2的受力情况如图,隔离方程为: = m2a隔离m1 ,仍有:T = m1a解以上两式,可得:a = g最后用整体法解F即可。答:当m1 m2时,没有适应题意的F;当
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