第2章随机变量及其分布1,设在某一人群中有40%的人血型是A型，现在在人群中随机地选人来验血，直至发现血型是A型的人为止，以Y记 进行验血的次数，求Y的分布律。解：显然，Y是一个离散型的随机变量，Y取k表明第k个人是A型血而前k -1个人都不是A型血，因此有PY 二 k二 0.4 x (1 - 0.4)k-1 = 0.4x 0.6k-1，( k = 1,2,3,A)上式就是随机变量Y的分布律(这是一个几何分布)。2,水自A处流至B处有3个阀门1，2, 3,阀门联接方式如图所示。当信号发出时各阀门以0.8的概率打开，以X表示 当信号发出时水自A流至B的通路条数，求X的分布律。设各阀门的工作相互独立。解 ： X 只 能 取 值 0 ， 1 ， 2 。 设 以 A(i=1,2,3) 记 第 i 个 阀 门 没 有 打 开 这 一 事 件 。 则iPX = 0 = PA (A u A ) = P(A A ) u (A A )1231 21 3=P A A + P A A - P A A A = P (A ) P (A ) + P (A ) P (A ) - P (A ) P (A ) P (A )1 21 31 2 31213123=(1 - 0.8)2 + (1 - 0.8)2 - (1 - 0.8)3 = 0.072，类似有 PX = 2 = PA (A A ) = P(A A A ) = 0.83 = 0.512，12 31 2 3PX =1=1-PX =0-PX = 2 = 0.4 1 6 ,综上所述，可得分布律为X012P X = k0.0720.5120.4163,据信有 20%的美国人没有任何健康保险，现任意抽 表示 15 个人中无任何健康保险的人数(设各人是否有 问X服从什么分布？写出分布律。并求下列情况下无查 15 个美国人，以 X 健康保险相互独立)。任何健康保险的概率：(1)恰有3人；(2)至少有2人；(3)不少于1人且不多于3人；(4)多于5人。解：根据题意，随机变量X服从二项分布B(15, 0.2)，分布律为P(X =k)=Ck x0.2kx0.815-k, k = 0,1,2,A 15 151) P(X =3)=C3 x 0.23 x 0.812 = 0.2501,15(2) P(X 2) = 1 - P(X = 1) - P(X = 0) = 0.8329 ；(3) P(1 X 3) = P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) = 0.6129 ； P(X5) = 1 - P(X = 5) - P(X = 4) - P(X = 3) - P(X = 2)-P(X =1)-P(X =0) = 0.061 1 4,设有一由n个元件组成的系统，记为k/nG，这一系统的运行方式是当且仅当n个元件中至少有k (0 k n)个元 件正常工作时，系统正常工作。现有一3/5G系统，它由相互独立的元件组成，设每个元件的可靠性均为0.9，求这一 系统的可靠性。解：对于3/5G系统，当至少有3个元件正常工作时，系统正常工作。而系统中正常工作的元件个数X服从二项分布 B(5, 0.9)，所以系统正常工作的概率为乞 P(X = k) = 1L Ck X 0.9k X 0.15-k = 0.991445k=3k=35，某生产线生产玻璃制品，生产过程中玻璃制品常出现气泡，以至产品成为次品，设次品率为0.001，现取8000件产品， 用泊松近似，求其中次品数小于7的概率。(设各产品是否为次品相互独立)解：根据题意，次品数X服从二项分布B(8000, 0.001)，所以P(X 7) = P(X 15(2)已知随机变量X兀(九)，且有PX 0 = 0.5，求PX 2。解：(1) PX15=1-PX 0 = 1 - PX = 0 = 1 - e-九=0.5，得到九=ln2。所以PX 2 = 1 - PX = 0- PX = 1 = 1 -0.5 九e-九=(1 -ln2)/2 沁 0.1534。7, 电话公司有5名讯息员，各人在t分钟内收到讯息的次数X兀(2t)(设各人收到讯息与否相互独立)。(1)求在 一给定的一分钟内第一个讯息员未收到讯息的概率(。 2)求在给定的一分钟内5个讯息员恰有4人未收到讯息的概率。(3) 写出在一给定的一分钟内，所有5个讯息员收到相同次数的讯息的概率。解：在给定的一分钟内，任意一个讯息员收到讯息的次数X兀(2)。(1) P X = 0 = e-2 沁 0.1353 ；(2) 设在给定的一分钟内5个讯息员中没有收到讯息的讯息员人数用Y表示，则YB(5, 0.1353)，所以PY = 4 = C 4 0.13534 X (1 - 0.1353) = 0.00145 。3)每个人收到的讯息次数相同的概率为2 ke -2 丫k!丿k=32 ke -iok=8, 教授当下课铃打响时，他还不结束讲解。他常结束他的讲解在铃响后的一分钟以内，UX表示铃响至结束讲解的时kx20 x 11112间。设X的概率密度为f (x) = , (1)确定k ；2)求PX三了；(3)求P- X T；4)求PX。I 0其他3423解：(1)根据1 = ff (x)dx = Jkkx2dx = 3，得到 k 二 3 ；g2)P x 3=3 x 2 dx=1=273)P4 X = J 3x2 dx = 1 32/3=19=279，设随机变量 X 的概率密度为 f(x) =0.003x200 x 0 ,即X2 5X + 4 0，从而要求X 4或者 X 1 。因为PX 4 = J0.003x2dx = 0.93604所以方程有实根的概率为 0.001+0.936=0.937.10,设产品的寿命X (以周计)服从瑞利分布，其概率密度为xf (x) = 1100ex2/ 2000x0其他( 1) 求寿命不到一周的概率；( 2)求寿命超过一年的概率；( 3)已知它的寿命超过 20 周，求寿命超过 26 周的条件概率解：( 1) PX 52 fe-x2/2oodx e-2704/200 沁 0.000001 ；10052fe - x2/200 dx(3) PX 26|X 20 PX 26 -26 e-276/200 沁 0.25158。1P X 20+8 xe - x 2/200 dx1002011,设实验室的温度X (以oC计)为随机变量，其概率密度为f( x)-1时才能发生，求在实验室中这种化学反应发生的概率。2) 在 10 个不同的实验室中，各实验室中这种化学反应是否会发生时相互独立的，以 Y 表示 10 个实验室中有这种化 学反应的实验室的个数，求Y的分布律。(3)求PY 2，PX 2。解：(1) P X 1 f (4 - x2 )dx ；7厶/1(2)根据题意YB(10,2)，所以其分布律为P(Y k) Ck x?10 ( 27 丿P(Y2)1-P(Y 0)-P(Y 1) 0.5778 。12，(1)设随机变量Y的概率密度为0.2-1 y 0f (y) 0.2 + Cy 0 y 1 0 其他试确定常数C,求分布函数F(y)，并求P0 Y 0.51 Y 0.1。(2)设随机变量X的概率密度为1/80 x 2f (x) = x/8 2 x 40 其他V求分布函数 F(x)，并求 P1 x 11 X 3。解：(1)根据 1 = f f (y)dy = f 0.2dy + f (0.2 + Cy)dy = 0.4 + C2 ,1得到C = 1.2。g0F(y) = ff(y)dy = fo.2dy + j(0.2 +1.2y)dygj 0.2dy + j (0.2 +1.2 y )dyy 1 1 y 00 y1100y 10.2(y +1) 1 y 00.6y 2 + 0.2y + 0.20 y 1P0 Y 0.5 = PY 0.5 PY 0.51 Y 0.1=PFTKiy1 PY 0.51 PY 0.11 F (0.5)1 F (0.1)1 0.451 0.226=0.7106x0(2) F(x) = J f (x)dx = jdx + jg8j dx + J dx8 8 020x22x40x/8x2 /161x00x22x4x4P1 x 11 x 3=PO3fF F (1)F(3)=7/913, 在集合A=1,2,3,.,n中取数两次，每次任取一数，作不放回抽样，以X表示第一次取到的数，以Y表示第二次取 到的数，求X和Y的联合分布律。并用表格形式写出当n=3时X和Y的联合分布律。解：根据题意，取两次且不放回抽样的总可能数为n